2013-新课标II卷文-19 解-频率分布直方图

本题导读

本题考查频率分布直方图的识读。核心在于按”售完/未售完”分段建模、矩形面积求和估计概率的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(文)） 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 $1\mathrm{t}$ 该产品获利润 $500$ 元，未售出的产品每 $1\mathrm{t}$ 亏损 $300$ 元. 根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示. 经销商为下一个销售季度购进了 $130\mathrm{t}$ 该农产品. 以 $X$（单位：$\mathrm{t}$，$100⩽X⩽150$）表示下一个销售季度内的市场需求量，$T$（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.

(1)将 $T$ 表示为 $X$ 的函数；

(2)根据直方图估计利润 $T$ 不少于 $57000$ 元的概率.

🔍【思路分析】

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1. 购进 $130\mathrm{t}$：当 $100⩽X⩽130$ 时售出 $X$、剩 $130-X$；当 $130<X⩽150$ 时全部售出。
2. 直方图五组矩形面积（组距均为 $10$）依次为 $0.10$、$0.20$、$0.30$、$0.25$、$0.15$。
3. 解 $800X-39000⩾57000$ 得 $X⩾120$，再把 $[120,150]$ 内的三组面积相加。

✅【答案】

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(1)$T=\{\begin{array}{ll}800X-39000,& 100⩽X⩽130,\\ 65000,& 130<X⩽150;\end{array}$ (2)$0.70$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 经销商购进 $130\mathrm{t}$。

• 当 $100⩽X⩽130$ 时，售出 $X\mathrm{t}$，未售出 $130-X\mathrm{t}$，所以 $T=500X-300(130-X)=500X-39000+300X=800X-39000.$
• 当 $130<X⩽150$ 时，购进的 $130\mathrm{t}$ 全部售出，所以 $T=500\times 130=65000.$ 因此 $T=\{\begin{array}{ll}800X-39000,& 100⩽X⩽130,\\ 65000,& 130<X⩽150.\end{array}$ （2） 由频率分布直方图，各组组距均为 $10\mathrm{t}$，位于 $[100,110)$、$[110,120)$、$[120,130)$、$[130,140)$、$[140,150]$ 的频率（矩形面积）依次为 $0.010\times 10=0.10,0.020\times 10=0.20,0.030\times 10=0.30,0.025\times 10=0.25,0.015\times 10=0.15,$ 其和为 $1$，说明读图无误。 事件"$T⩾57000$"等价于
• 当 $100⩽X⩽130$ 时，$800X-39000⩾57000$，即 $X⩾120$；
• 当 $130<X⩽150$ 时，$T=65000⩾57000$ 恒成立。 故所求事件即 $X⩾120$，其概率估计为 $P(X⩾120)=0.30+0.25+0.15=\mathrm{0.70.}$ 所以利润 $T$ 不少于 $57000$ 元的概率约为 $0.70$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：频率分布直方图与分段函数建模

核心方法：先按”售完/未售完”分段写出利润函数，再由直方图求频率估计概率

避坑指南：直方图中每个矩形的面积才是频率（纵轴是 $\frac{\text{频率}}{\text{组距}}$），不能把纵轴高度当频率直接相加；本题五组矩形面积依次为 $0.10$、$0.20$、$0.30$、$0.25$、$0.15$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：统计中的频率分布直方图与函数建模（全国卷必考大题）。

结论推广：直方图中矩形面积 $=$ 组距 $\times$ 纵坐标 $=$ 该组频率，所有矩形面积之和为 $1$。

方法推广：实际应用题的通用套路：先按”临界点”分类写出分段函数 → 把条件翻译成不等式 → 用频率（面积）求和估计概率。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷文-18 解-频率分布直方图
• 2014-新课标II卷文-19 解-茎叶图
• 2013年新课标Ⅱ理-19