2013-新课标II卷理-03 单-等比数列通项

本题导读

本题考查等比数列，以及等比数列的通项公式。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(理)） 3. 等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ , 已知 $S_{3} = a_{2} + 10 a_{1}$ , $a_{5} = 9$ , 则 $a_{1} =$ ()

A. $\frac{1}{3}$ 　　　　　　B. $- \frac{1}{3}$ 　　　　　　C. $\frac{1}{9}$ 　　　　　　D. $- \frac{1}{9}$

🔍【思路分析】

破题导航

设基本元：设等比数列的首项为 $a_{1}$ , 公比为 $q$ 。

列方程组：

利用 $S_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3}$ 将已知条件 $S_{3} = a_{2} + 10 a_{1}$ 转化为关于 $a_{1}, q$ 的等式。

利用通项公式 $a_{5} = a_{1} q^{4} = 9$ 列出第二个方程。

求解：通过消元法解方程组，求出 $a_{1}$ 的值。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

设等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ 。

第一步：化简求和公式条件 由 $S_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3}$ 及已知条件 $S_{3} = a_{2} + 10 a_{1}$ 得： $a_{1} + a_{2} + a_{3} = a_{2} + 10 a_{1}$ 消去 $a_{2}$ 得： $a_{1} + a_{3} = 10 a_{1} ⟹ a_{3} = 9 a_{1}$ 由于 $a_{3} = a_{1} q^{2}$ ，代入上式（可知 $a_{1} \neq = 0$ ）： $a_{1} q^{2} = 9 a_{1} ⟹ q^{2} = 9$

第二步：结合通项公式求解 $a_{1}$ 已知 $a_{5} = 9$ ，根据通项公式： $a_{5} = a_{1} q^{4} = 9$ 将 $q^{2} = 9$ 代入： $a_{1} \cdot (9)^{2} = 9$ $81 a_{1} = 9$ 解得： $a_{1} = \frac{9}{81} = \frac{1}{9}$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的定义及其基本公式（通项公式 $a_{n} = a_{1} q^{n - 1}$ ，求和公式）。

核心方法：基本元法。将数列中的所有项均用 $a_{1}$ 和 $q$ 表示，通过解方程组解决。

避坑指南：在本题中，利用 $S_{3}$ 的拆解比直接套用求和公式 $\frac{a _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}$ 更为简洁，避免了对 $q = 1$ 的讨论。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列的基本性质、等比中项的概念。

结论推广：在等比数列中， $a_{n} = a_{m} q^{n - m}$ 。如本题中 $a_{5} = a_{3} q^{2}$ ，可以直接得到 $9 = a_{3} \cdot 9 ⟹ a_{3} = 1$ 。

方法推广：涉及数列中项与和的关系，优先考虑 $S_{n} - S_{n - 1} = a_{n}$ 或将和式展开为项的加法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

19.02 等比数列全总结

19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

2026-新高考I卷-14 填-等比数列

2026-新高考II卷-10 多-等比数列

2026-上海卷-02 填-等比数列

∑ ( Math )

Explorer

2013-新课标II卷理-03 单-等比数列通项

📌【题干】

🔍【思路分析】

✅【答案】

✍【详细解析】

💡【考点归纳与避坑指南】

📖【试题探源与推广】

🔗【关联脉络】

Backlinks