2013-江西卷理-21 解-对称性

本题导读

本题考查函数的性质。核心在于换元法、分段函数讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年江西卷(理)） 已知函数 $f(x)=a(1-2|x-\frac{1}{2}|)$，$a$ 为常数且 $a>0$.

(1)证明：函数 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=\frac{1}{2}$ 对称；

(2)若 $x_0$ 满足 $f(f(x_0))=x_0$，但 $f(x_0)\ne x_0$，则 $x_0$ 称为函数 $f(x)$ 的二阶周期点.如果 $f(x)$ 有两个二阶周期点 $x_1,x_2$，试确定 $a$ 的取值范围；

(3)对于(2)中的 $x_1,x_2$ 和 $a$，设 $x_3$ 为函数 $f(f(x))$ 的最大值点，$A(x_1,f(f(x_1)))$，$B(x_2,f(f(x_2)))$，$C(x_3,0)$，记 $△ABC$ 的面积为 $S(a)$，讨论 $S(a)$ 的单调性.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（对称性）：利用对称性定义，证明 $f(\frac{1}{2}+x)=f(\frac{1}{2}-x)$。
2. 第二问（周期点范围）：
   • 展开 $f(x)$：$f(x)=\{\begin{array}{ll}2ax,& x\le \frac{1}{2}\\ 2a(1-x),& x>\frac{1}{2}\end{array}$。
   • 分析 $f(f(x))$：根据 $a$ 的不同取值（$a\le \frac{1}{2}$ 和 $a>\frac{1}{2}$）进行分类讨论。
   • 求解方程：解 $f(f(x))=x$，并剔除掉满足 $f(x)=x$ 的一阶周期点（固定点）。
3. 第三问（面积单调性）：
   • 确定顶点：由于 $x_1,x_2$ 是二阶周期点，则 $f(f(x_1))=x_1$，$f(f(x_2))=x_2$。
   • 寻找最大值点：分析分段复合函数，找出使 $f(f(x))$ 取得最大值的 $x_3$。
   • 建立面积函数：利用三角形坐标面积公式 $S=\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1+\dots |$ 建立 $S(a)$。
   • 导数工具：求 $S^{\prime }(a)$，分析其在范围内的正负，得出单调性。

✅【答案】

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情况1；情况2

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明： 因为 $f(\frac{1}{2}+x)=a(1-2|(\frac{1}{2}+x)-\frac{1}{2}|)=a(1-2|x|)$， $f(\frac{1}{2}-x)=a(1-2|(\frac{1}{2}-x)-\frac{1}{2}|)=a(1-2|-x|)=a(1-2|x|)$。 所以 $f(\frac{1}{2}+x)=f(\frac{1}{2}-x)$，函数 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=\frac{1}{2}$ 对称。

（2）解： 函数可写为 $f(x)=\{\begin{array}{ll}2ax,& x\le \frac{1}{2}\\ 2a(1-x),& x>\frac{1}{2}\end{array}$。

• 当 $0<a\le \frac{1}{2}$ 时，$f(x)$ 的值域在 $[0,\frac{1}{2}]$ 内，此时 $f(f(x))=2a(f(x))=\dots$ 方程 $f(f(x))=x$ 只有唯一解 $x=0$，但 $f(0)=0$，不符合二阶周期点定义。
• 当 $a>\frac{1}{2}$ 时，复合函数 $f(f(x))$ 呈现出“M”型多段折线特征。 解方程 $f(f(x))=x$ 可得四个解：$0,\frac{2a}{1+2a},\frac{2a}{1+4a^2},\frac{4a^2}{1+4a^2}$。 其中 $0$ 和 $\frac{2a}{1+2a}$ 满足 $f(x)=x$。 剩余两个解 $x_1=\frac{2a}{1+4a^2},x_2=\frac{4a^2}{1+4a^2}$ 满足 $f(x_1)=x_2\ne x_1$。 故 $a$ 的取值范围是 $a>\frac{1}{2}$。

（3）讨论： 由（2）知 $A(x_1,x_1),B(x_2,x_2)$。$x_3$ 是 $f(f(x))$ 的最大值点。 根据复合函数性质，$f(f(x))$ 在 $x=\frac{1}{4a}$ 或 $x=\frac{4a-1}{4a}$ 时取得最大值 $a$。

• 情况1：当 $x_3=\frac{1}{4a}$ 时， $S(a)=\frac{1}{2}|x_1(x_2-0)+x_2(0-x_1)+x_3(x_1-x_2)|=\frac{2a-1}{4(1+4a^2)}$。 求导得 $S^{\prime }(a)=\frac{2(a-\frac{1+\sqrt{2}}{2})(a-\frac{1-\sqrt{2}}{2})}{4(1+4a^2{)}^2}$。 当 $a\in (\frac{1}{2},\frac{1+\sqrt{2}}{2})$ 时，$S(a)$ 单调递增；当 $a\in (\frac{1+\sqrt{2}}{2},+\infty )$ 时，$S(a)$ 单调递减。
• 情况2：当 $x_3=\frac{4a-1}{4a}$ 时， $S(a)=\frac{8a^2+6a+1}{4(1+4a^2)}$。求导可知 $S^{\prime }(a)>0$ 恒成立。 此时 $S(a)$ 在 $(\frac{1}{2},+\infty )$ 上单调递增。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：见详细解析

结论推广：见详细解析。

方法推广：对于证明对称性，若函数含有绝对值 $|x-h|$，通常关于 $x=h$ 对称。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-15 填-函数对称性
• 2015-福建卷文-15 填-函数图象对称性
• 2014-辽宁卷文-15 填-椭圆对称