2013-浙江卷文-10 单-新定义运算

本题导读

本题考查新定义运算，以及基本不等式。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(文)） 设 $a$，$b\in \mathbf{R}$，定义运算"$\wedge$"和"$\vee$"如下： $a\wedge b=\{\begin{array}{ll}a,& a⩽b,\\ b,& a>b,\end{array}a\vee b=\{\begin{array}{ll}b,& a⩽b,\\ a,& a>b.\end{array}$ 若正数 $a$，$b$，$c$，$d$ 满足 $ab⩾4$，$c+d⩽4$，则()

A. $a\wedge b⩾2$，$c\wedge d⩽2$　B. $a\wedge b⩾2$，$c\vee d⩾2$　C. $a\vee b⩾2$，$c\wedge d⩽2$　D. $a\vee b⩾2$，$c\vee d⩾2$

🔍【思路分析】

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1. $\wedge$ 即 $\min$，$\vee$ 即 $\max$。$ab⩾4$（正数）→ $\max \{a,b\}⩾\sqrt{ab}⩾2$，即 $a\vee b⩾2$；而 $\min$ 无下界（$a=4,b=0.25$ 时 $a\wedge b=0.25$）。
2. $c+d⩽4$ → $\min \{c,d\}⩽\frac{c+d}{2}⩽2$，即 $c\wedge d⩽2$；$\max$ 无上界约束也不保证 $⩾2$（$c=d=1$ 时 $c\vee d=1$）。
3. 只有 C 两部分都成立。

✅【答案】

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（C）

✍【详细解析】

Abstract

由定义，$a\wedge b$ 即 $\min \{a,b\}$，$a\vee b$ 即 $\max \{a,b\}$。 对 $a$，$b$：因 $a$，$b$ 为正数且 $ab⩾4$，较大者满足 $a\vee b⩾\sqrt{ab}⩾2,$ 而较小者可以任意小（如 $a=4$，$b=\frac{1}{4}$ 时 $a\wedge b=\frac{1}{4}$），故"$a\wedge b⩾2$"不成立，排除 A、B。 对 $c$，$d$：较小者不超过平均数， $c\wedge d=\min \{c,d\}⩽\frac{c+d}{2}⩽2,$ 成立；而 $c\vee d⩾2$ 不一定成立（$c=d=1$ 时 $c+d=2⩽4$，但 $c\vee d=1$），排除 D。 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：新定义运算与最值推理

核心方法：$a\vee b=\max \{a,b\}$：$ab⩾4$ → $\max ⩾\sqrt{ab}⩾2$；$c\wedge d=\min \{c,d\}$：$c+d⩽4$ → $\min ⩽\frac{c+d}{2}⩽2$

避坑指南：新定义题第一步是翻译：$\wedge$ 取小、$\vee$ 取大。正数乘积定下界用 $\sqrt{ab}⩽\frac{a+b}{2}$ 的反向读法——$ab⩾4$ 推不出 $a⩾2$ 也推不出 $b⩾2$，但必能推出”较大者 $⩾2$“；误把条件落到单个字母上是最大陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：创新定义题（浙江卷特色，取大取小运算与均值不等式结合）。

结论推广：$\max \{a,b\}⩾\sqrt{ab}$；$\min \{c,d\}⩽\frac{c+d}{2}$（较小者不超过平均数）。

方法推广：新定义选择题：先翻译定义 → 把抽象条件转成最值语言 → 用均值不等式与反例排除选项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-16 填-正对数新定义
• 2014-四川卷文-15 填-新定义真命题
• 2014-广东卷文-10 单-复数新定义