2013-浙江卷理-03 单-对数运算

本题导读

本题考查对数函数，以及对数的运算性质。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(理)） 3. 已知 $x,y$ 为正实数，则 $($\quad\quad$)$

A. $2^{\lg x+\lg y}=2^{\lg x}+2^{\lg y}$　　　　　　　　　　B. $2^{\lg (x+y)}=2^{\lg x}\cdot 2^{\lg y}$

C. $2^{\lg x\cdot \lg y}=2^{\lg x}+2^{\lg y}$　　　　　　　　　　D. $2^{\lg (xy)}=2^{\lg x}\cdot 2^{\lg y}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 回顾对数性质：对数的积等于对数的和，即 $\lg (xy)=\lg x+\lg y$。
2. 回顾指数性质：指数的和等于幂的积，即 $a^{s+t}=a^s\cdot a^t$。
3. 综合推导：将两者结合，观察哪个等式符合这两个基本运算法则。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

根据对数运算性质，当 $x,y>0$ 时： $\lg (xy)=\lg x+\lg y$

将此关系代入指数式中： $2^{\lg (xy)}=2^{\lg x+\lg y}$

再根据指数运算性质 $a^{s+t}=a^s\cdot a^t$： $2^{\lg x+\lg y}=2^{\lg x}\cdot 2^{\lg y}$

综合以上步骤可得： $2^{\lg (xy)}=2^{\lg x}\cdot 2^{\lg y}$

对比选项：

• A项：错误，指数加法不等于幂的加法。
• B项：错误，$\lg (x+y)$ 不能拆分为 $\lg x+\lg y$。
• C项：错误，指数乘法不等于幂的加法。
• D项：正确，符合上述推导。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：- 对数性质：${\log }_a(MN)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$。 - 指数性质：$a^{m+n}=a^m\cdot a^n$。

核心方法：公式直接应用。

避坑指南：学生容易将 $\lg (x+y)$ 误认为等于 $\lg x+\lg y$，或者是将 $2^{A+B}$ 误认为等于 $2^A+2^B$。此类题目要求对算理极其清晰。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：换底公式、对数函数的单调性、指对数互化。

结论推广：在同底数的情况下，$\log$ 运算将乘法降维为加法，而指数运算将加法升维为乘法。这种互逆的转换关系是解决指对数复合问题的基础。

方法推广：公式直接应用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 06.01 幂指对函数图象与性质

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