2013-浙江卷理-11 填-二项式通项

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(理)） 11. 设二项式 $(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}{)}^5$ 的展开式中常数项为 $A$，则 $A=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出通项公式：利用二项展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。
2. 化简 $x$ 的指数：将根式化为分数指数幂的形式，合并同类项，整理出 $x$ 的总指数表达式。
3. 确定常数项条件：常数项即 $x$ 的指数为 $0$，据此列方程求出 $r$。
4. 计算系数：将求得的 $r$ 代入通项公式，计算出常数项的值。

✅【答案】

点击查看答案

$-10$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：写出通项公式 二项式 $(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}{)}^5$ 的展开式通项公式为： $T_{r+1}=C_5^r\cdot (\sqrt{x}{)}^{5-r}\cdot {\left(-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}^r$

第二步：化简指数部分 将根式转化为分数指数幂： $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}=x^{-\frac{1}{3}}$

代入通项公式并化简： $T_{r+1}=C_5^r\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{5-r}\cdot (-1{)}^r\cdot (x^{-\frac{1}{3}}{)}^r$ $T_{r+1}=(-1{)}^r\cdot C_5^r\cdot x^{\frac{5-r}{2}}\cdot x^{-\frac{r}{3}}$ $T_{r+1}=(-1{)}^r\cdot C_5^r\cdot x^{\frac{5-r}{2}-\frac{r}{3}}$ $T_{r+1}=(-1{)}^r\cdot C_5^r\cdot x^{\frac{15-5r}{6}}$

第三步：令指数为 $0$ 求解 $r$ 由于该项为常数项，则 $x$ 的指数为 $0$： $\frac{15-5r}{6}=0⟹15-5r=0⟹r=3$

第四步：计算常数项 $A$ 将 $r=3$ 代入系数部分： $A=(-1{)}^3\cdot C_5^3=-1\times \frac{5\times 4\times 3}{3\times 2\times 1}=-10$

故答案为：$-10$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。

核心方法：指数化简法。处理二项式中含有根号或分式的项时，统一化成 $x^k$ 的形式是求解的关键。

避坑指南：不要漏掉二项式中的负号。在本题中，$-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ 中的负号会随 $r$ 的奇偶性影响最终结果的符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式系数的和、杨辉三角的性质。

结论推广：二项式系数 $C_n^r$ 与项的系数是有区别的，前者始终为正，后者由二项式系数与 $a,b$ 的系数共同决定。

方法推广：求解“有理项”（指数为整数）或“特定幂项”时，思路与求常数项完全一致，只需令指数等于目标数值即可。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2026-天津卷-11 填-二项式定理
• 2026-北京卷-04 单-二项式定理
• 2026-上海卷-06 填-二项式定理