2013-湖南卷文-17 解-线面垂直体积

本题导读

本题考查直线与平面垂直的判定与性质。核心在于线面垂直判定、平移法求异面角的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年湖南卷(文)）如图，在直棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 9 0^{\circ}$ ， $A B = A C = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点，点 $E$ 在棱 $B B_{1}$ 上运动.

(1)证明： $A D ⊥ C_{1} E$ ；

(2)当异面直线 $A C$ ， $C_{1} E$ 所成的角为 $6 0^{\circ}$ 时，求三棱锥 $C_{1} - A_{1} B_{1} E$ 的体积.

🔍【思路分析】

破题导航

（1） $A B = A C$ 、 $D$ 为中点 → $A D ⊥ B C$ ；直棱柱中 $B B_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ → $A D ⊥ B B_{1}$ ； $B C \cap B B_{1} = B$ → $A D ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ → $A D ⊥ C_{1} E$ 。

（2） $A C ∥ A_{1} C_{1}$ → 所成角为 $∠ A_{1} C_{1} E = 6 0^{\circ}$ ； $A_{1} C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} A B_{1} B$ → $A_{1} C_{1} ⊥ A_{1} E$ 。

直角 $△ E A_{1} C_{1}$ ： $C_{1} E = \frac{A _{1} C _{1}}{cos 6 0 ^{\circ}} = 22$ ； $B_{1} C_{1} = 2$ → $B_{1} E = 8 - 4 = 2$ 。

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{△ A_{1} B_{1} E} \cdot A_{1} C_{1} = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2) \cdot 2 = \frac{2}{3}$ 。

✅【答案】

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(1)证明见解析；(2) $V = \frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）因为 $A B = A C$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点，所以 $A D ⊥ B C$ 。又直棱柱中 $B B_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A D \subset$ 平面 $A B C$ ，所以 $A D ⊥ B B_{1}$ 。 $B C \cap B B_{1} = B$ ，故 $A D ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ 。而 $C_{1} E \subset$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ，所以 $A D ⊥ C_{1} E$ 。（2）因为 $A C ∥ A_{1} C_{1}$ ，所以异面直线 $A C$ ， $C_{1} E$ 所成的角即 $∠ A_{1} C_{1} E = 6 0^{\circ}$ 。由 $∠ B A_{1} C_{1} = 9 0^{\circ}$ 及 $A A_{1} ⊥ A_{1} C_{1}$ ，得 $A_{1} C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} A B_{1} B$ ，于是 $A_{1} C_{1} ⊥ A_{1} E$ 。在直角 $△ E A_{1} C_{1}$ 中： $C_{1} E = \frac{A _{1} C _{1}}{cos 6 0 ^{\circ}} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 22, B_{1} C_{1} = A_{1} C_{1}^{2} + A_{1} B_{1}^{2} = 2,$ $B_{1} E = C_{1} E^{2} - B_{1} C_{1}^{2} = 8 - 4 = 2.$ $△ A_{1} B_{1} E$ 中 $∠ A_{1} B_{1} E = 9 0^{\circ}$ ， $A_{1} B_{1} = 2$ ， $B_{1} E = 2$ ： $V_{C_{1} - A_{1} B_{1} E} = \frac{1}{3} \cdot S_{△ A_{1} B_{1} E} \cdot A_{1} C_{1} = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2) \cdot 2 = \frac{2}{3} .$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直与异面直线角、棱锥体积

核心方法：(1) $A D ⊥ B C$ （三线合一）且 $A D ⊥ B B_{1}$ → $A D ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ → $A D ⊥ C_{1} E$ ；(2) $∠ A_{1} C_{1} E = 6 0^{\circ}$ ， $A_{1} C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} A B_{1} B$ → $C_{1} E = 22$ ， $B_{1} E = 2$ → $V = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2) \cdot 2 = \frac{2}{3}$

避坑指南：证 $A D ⊥ C_{1} E$ 的关键是 $A D ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ （两条相交直线： $B C$ 与 $B B_{1}$ ）；求体积时 $△ A_{1} B_{1} E$ 的直角在 $B_{1}$ （ $A_{1} B_{1} ⊥ B B_{1}$ ），底面积别用错边。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线面垂直的判定与性质、异面直线所成角（直棱柱，湖南卷解答题）。

结论推广：线面垂直判定链；平移角 + 解三角形。

方法推广：证线面垂直 → 得线线垂直；平移 $A C$ → 解 $△$ → 求体积。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

13.03 空间点、线、面位置关系

13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

2013-北京卷文-17 解-线面垂直面面垂直

2013-新课标I卷文-19 解-线面垂直与棱柱体积

2013-安徽卷文-18 解-菱形四棱锥垂直

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