2013-湖南卷文-20 解-椭圆圆弦长最值

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质。核心在于对称点方程组、设线消斜的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年湖南卷(文)） 已知 $F_1$，$F_2$ 分别是椭圆 $E:\frac{x^2}{5}+y^2=1$ 的左、右焦点，$F_1$，$F_2$ 关于直线 $x+y-2=0$ 的对称点是圆 $C$ 的一条直径的两个端点.

(1)求圆 $C$ 的方程；

(2)设过点 $F_2$ 的直线 $l$ 被椭圆 $E$ 和圆 $C$ 所截得的弦长分别为 $a$，$b$. 当 $ab$ 最大时，求直线 $l$ 的方程.

🔍【思路分析】

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1. （1）$F_1(-2,0)$，$F_2(2,0)$；圆心为 $(2,2)$、半径 $2$ → $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=4$。
2. （2）设 $l:x=my+2$；圆的弦 $b=\frac{4}{\sqrt{1+m^2}}$。
3. 椭圆联立 $(m^2+5)y^2+4my-1=0$ → $a=\frac{2\sqrt{5}(m^2+1)}{m^2+5}$。
4. $ab=\frac{8\sqrt{5}}{\sqrt{m^2+1}+\frac{4}{\sqrt{m^2+1}}}⩽2\sqrt{5}$，$\sqrt{m^2+1}=2$ 时取等 → $m=\pm \sqrt{3}$。
5. 直线 $l:x=\pm \sqrt{3}y+2$，即 $x-\sqrt{3}y-2=0$ 或 $x+\sqrt{3}y-2=0$。

✅【答案】

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(1)$(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=4$；(2)$x-\sqrt{3}y-2=0$ 或 $x+\sqrt{3}y-2=0$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由椭圆方程 $c^2=5-1=4$，得 $F_1(-2,0)$，$F_2(2,0)$。 注意到 $F_2(2,0)$ 满足 $2+0-2=0$，即 $F_2$ 本身在对称轴上，其对称点仍为 $(2,0)$。 $F_1(-2,0)$ 的对称点 $(x,y)$ 满足：连线垂直于对称轴（斜率 $1$），且中点在对称轴上： $\{\begin{array}{l}\frac{y}{x+2}=1,\\ \frac{x-2}{2}+\frac{y}{2}-2=0,\end{array}\Rightarrow y=x+2,x+y=6\Rightarrow (x,y)=(2,4).$ 故圆 $C$ 以 $(2,0)$，$(2,4)$ 为直径两端：圆心为其中点 $(2,2)$，半径为 $\frac{1}{2}\sqrt{(2-2{)}^2+(4-0{)}^2}=2$，方程为 $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=4.$ （2）直线 $l$ 过 $F_2(2,0)$，设 $l:x=my+2$（涵盖斜率不存在的情形）。 圆心 $(2,2)$ 到 $l$ 的距离 $d=\frac{2|m|}{\sqrt{1+m^2}}$，由垂径定理，圆被 $l$ 截得的弦长 $b=2\sqrt{4-d^2}=\frac{4}{\sqrt{1+m^2}}.$ 联立 $l$ 与 $E$： $(m^2+5)y^2+4my-1=0,$ $y_1+y_2=-\frac{4m}{m^2+5},y_1{y}_2=-\frac{1}{m^2+5}.$ $a=\sqrt{1+m^2}\sqrt{(y_1+y_2{)}^2-4y_1{y}_2}=\sqrt{1+m^2}\cdot \frac{2\sqrt{5}\sqrt{m^2+1}}{m^2+5}=\frac{2\sqrt{5}(m^2+1)}{m^2+5}.$ 于是 $ab=\frac{8\sqrt{5}\sqrt{m^2+1}}{m^2+5}=\frac{8\sqrt{5}}{\sqrt{m^2+1}+\frac{4}{\sqrt{m^2+1}}}⩽\frac{8\sqrt{5}}{2\sqrt{4}}=2\sqrt{5},$ 当且仅当 $\sqrt{m^2+1}=\frac{4}{\sqrt{m^2+1}}$，即 $m^2=3$、$m=\pm \sqrt{3}$ 时取等号。 故直线 $l$ 的方程为 $x=\sqrt{3}y+2$ 或 $x=-\sqrt{3}y+2$，即 $x-\sqrt{3}y-2=0$ 或 $x+\sqrt{3}y-2=0$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对称点求圆、椭圆与圆的弦长积最值

核心方法：$F_2(2,0)$ 本身在直线 $x+y-2=0$ 上（对称点为自身），$F_1(-2,0)$ 的对称点是 $(2,4)$；圆 $C$ 以 $(2,0)$、$(2,4)$ 为直径两端 → 圆心 $(2,2)$、半径 $2$；(2) 设 $l:x=my+2$，$b=\frac{4}{\sqrt{1+m^2}}$，$a=\frac{2\sqrt{5}(m^2+1)}{m^2+5}$，$ab=\frac{8\sqrt{5}}{\sqrt{m^2+1}+\frac{4}{\sqrt{m^2+1}}}⩽2\sqrt{5}$，$\sqrt{m^2+1}=2$ 即 $m=\pm \sqrt{3}$ 时取等

避坑指南：对称点走”垂直 + 中点在对称轴上”两条方程；圆的弦长用垂径定理（$b=2\sqrt{r^2-d^2}$），椭圆弦长用韦达定理——$ab$ 化成 $\frac{8\sqrt{5}}{u+\frac{4}{u}}$（$u=\sqrt{m^2+1}$）后用均值不等式，$u+\frac{4}{u}⩾4$；设 $x=my+2$ 天然涵盖斜率不存在，最后别忘写出两条直线。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与椭圆、圆相交的弦长（对称变换 + 均值不等式，湖南卷解答题压轴）。

结论推广：对称点方程组；设线消斜；均值不等式。

方法推广：求圆 → 设 $x=my+2$ 表 $a,b$ → 均值不等式取等。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-19 解-椭圆与菱形
• 2013-山东卷文-22 解-椭圆面积与向量比
• 2013-安徽卷文-21 解-椭圆切线唯一性