2013-福建卷文-11 单-线性回归比较

本题导读

本题考查线性回归方程，以及样本中心点。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(文)） 已知 $x$ 与 $y$ 之间的几组数据如下表：

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$y$	$0$	$2$	$1$	$3$	$3$	$4$
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 $\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$，若某同学根据上表中的前两组数据 $(1,0)$ 和 $(2,2)$ 求得的直线方程为 $y=b^{\prime }x+a^{\prime }$，则以下结论正确的是()

A. $\hat{b}>b^{\prime }$，$\hat{a}>a^{\prime }$　　B. $\hat{b}>b^{\prime }$，$\hat{a}<a^{\prime }$　　C. $\hat{b}<b^{\prime }$，$\hat{a}>a^{\prime }$　　D. $\hat{b}<b^{\prime }$，$\hat{a}<a^{\prime }$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 前两点直线：$b^{\prime }=\frac{2-0}{2-1}=2$，$a^{\prime }=0-2\times 1=-2$。
2. 全体数据：$\bar{x}=3.5$，$\bar{y}=\frac{13}{6}$；$\hat{b}=\frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}=\frac{12.5}{17.5}=\frac{5}{7}\approx 0.71<2=b^{\prime }$。
3. $\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}=\frac{13}{6}-\frac{5}{7}\times \frac{7}{2}=\frac{13}{6}-\frac{5}{2}=-\frac{1}{3}>-2=a^{\prime }$。

✅【答案】

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（C）

✍【详细解析】

Abstract

先算前两点直线：过 $(1,0)$、$(2,2)$，斜率 $b^{\prime }=\frac{2-0}{2-1}=2$，截距 $a^{\prime }=0-2\times 1=-2$。 再算回归直线：$\bar{x}=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5$，$\bar{y}=\frac{0+2+1+3+3+4}{6}=\frac{13}{6}$。 $\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=(-2.5{)}^2+(-1.5{)}^2+(-0.5{)}^2+(0.5{)}^2+(1.5{)}^2+(2.5{)}^2=17.5,$ $\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=\sum x_i{y}_i-6\bar{x}\bar{y}=58-6\times 3.5\times \frac{13}{6}=58-45.5=12.5,$ 故 $\hat{b}=\frac{12.5}{17.5}=\frac{5}{7}\approx 0.71<2=b^{\prime }$。 回归直线过样本中心点 $\left(3.5,\frac{13}{6}\right)$，故 $\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}=\frac{13}{6}-\frac{5}{7}\times \frac{7}{2}=\frac{13}{6}-\frac{5}{2}=-\frac{1}{3},$ 而 $a^{\prime }=-2$，所以 $\hat{a}>a^{\prime }$。 综上 $\hat{b}<b^{\prime }$ 且 $\hat{a}>a^{\prime }$。 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性回归直线的斜率与截距比较

核心方法：全部数据算得 $\hat{b}\approx 0.71$、$\hat{a}\approx -0.33$；前两点直线 $b^{\prime }=2$、$a^{\prime }=-2$ → $\hat{b}<b^{\prime }$，$\hat{a}>a^{\prime }$

避坑指南：回归直线必过样本中心点 $(\bar{x},\bar{y})$——用它可快速估 $\hat{a}$；只凭”后四点拖低了增长趋势”定性判断也行，但两个不等号都要有依据，别只验一个就选。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性回归方程的比较（统计 + 代数估算，福建卷统计选择题）。

结论推广：$\hat{b}=\frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}$，$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}$；回归直线过样本中心点。

方法推广：算出 $\bar{x},\bar{y}$ → 求 $\hat{b}$ 与 $b^{\prime }$ 比较 → 由 $\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}$ 与 $a^{\prime }$ 比较。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 24.01回归分析与线性拟合

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷文-06 单-回归分析
• 2014-安徽卷文-17 解-统计与独立性检验