2013-辽宁卷理-09 单-直线斜率

本题导读

本题考查平面解析几何，以及直线与方程。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(理)） 已知点 $O(0,0),A(0,b),B(a,a^3)$.若 $△OAB$ 为直角三角形，则必有()

A. $b=a^3$

B. $b=a^3+\frac{1}{a}$

C. $(b-a^3)(b-a^3-\frac{1}{a})=0$

D. $|b-a^3|+|b-a^3-\frac{1}{a}|=0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确三角形顶点：三个顶点分别为 $O(0,0)$，$A(0,b)$，$B(a,a^3)$。
2. 判定直角位置：由于 $O$ 点和 $A$ 点均在 $y$ 轴上（即直线 $OA$ 的斜率不存在，垂直于 $x$ 轴），故直角顶点只能是 $A$ 或 $B$（注意：$\angle O$ 若为 $90^{\circ }$，则 $B$ 点必在 $x$ 轴上，即 $a^3=0⟹a=0$，此时 $O,A,B$ 三点共线，不能构成三角形）。
3. 分类讨论：
   • 情形一：$\angle A=90^{\circ }$。意味着直线 $AB\perp OA$。由于 $OA$ 在 $y$ 轴上，$AB$ 必为水平线。
   • 情形二：$\angle B=90^{\circ }$。意味着直线 $AB\perp OB$。利用斜率乘积 $k_{AB}\cdot k_{OB}=-1$ 建立方程。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

情形一：当 $\angle A=90^{\circ }$ 时 由于 $O(0,0)$，$A(0,b)$ 都在 $y$ 轴上，直线 $OA$ 为 $y$ 轴。 若 $\angle A=90^{\circ }$，则 $AB\perp y$ 轴，即 $AB$ 是水平线。 这意味着点 $A$ 和点 $B$ 的纵坐标相等： $b=a^3⟹b-a^3=0$

情形二：当 $\angle B=90^{\circ }$ 时 直线 $OB$ 的斜率 $k_{OB}=\frac{a^3-0}{a-0}=a^2$。 直线 $AB$ 的斜率 $k_{AB}=\frac{a^3-b}{a-0}=\frac{a^3-b}{a}$。 根据垂直关系 $k_{OB}\cdot k_{AB}=-1$： $a^2\cdot \frac{a^3-b}{a}=-1$ $a(a^3-b)=-1$ $a^3-b=-\frac{1}{a}$ $b=a^3+\frac{1}{a}⟹b-a^3-\frac{1}{a}=0$

综合结论： $△OAB$ 为直角三角形，则上述两种情况至少有一种成立，即： $(b-a^3)=0\text{或}(b-a^3-\frac{1}{a})=0$ 用乘积形式表示即为： $(b-a^3)(b-a^3-\frac{1}{a})=0$

故正确答案为：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两条直线垂直的斜率关系 $k_1\cdot k_2=-1$；分类讨论思想。

核心方法：坐标法。将几何特征（直角）转化为代数特征（斜率乘积或纵坐标相等）。

避坑指南：* 忽略 $O,A,B$ 三点共线的情况。 * 漏掉其中一种直角顶点的可能性。选项 C 的乘积形式完美表达了“或”的逻辑关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量的数量积、圆的直径所对圆周角。

结论推广：设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$，$△ABC$ 以 $B$ 为直角的充要条件是向量 $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=0$，即 $(x_1-x_2)(x_3-x_2)+(y_1-y_2)(y_3-y_2)=0$。

方法推广：“必有”类题目通常对应条件的必要性，如果存在多种可能，应使用逻辑和（或）连接，代数上体现为因式分解的乘积等于零。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-08 单-抛物线斜率