2013-辽宁卷理-13 填-三视图还原

本题导读

本题考查三视图，以及由三视图还原直观图。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(理)） 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 还原直观图：
   • 俯视图：外部是一个圆，内部是一个正方形。
   • 正、侧视图：外部轮廓是长方形（高为 4），内部有虚线。
   • 综合判定：该几何体是一个底面半径为 $2$、高为 $4$ 的圆柱，中间挖去了一个底面边长为 $2$、高为 $4$ 的正四棱柱。
2. 确定几何量：
   • 圆柱底面直径为 $1+2+1=4$，则半径 $R=2$；高 $h=4$。
   • 被挖去的正四棱柱底面边长 $a=2$；高 $h=4$。
3. 计算体积：利用 $V_{\text{总}}=V_{\text{圆柱}}-V_{\text{正四棱柱}}$ 进行求解。

✅【答案】

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$16\pi -16$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算圆柱体积 圆柱的底面半径 $R=2$，高 $h=4$。 $V_{\text{圆柱}}=\pi R^{2}h=\pi \times 2^2\times 4=16\pi$

第二步：计算正四棱柱体积 正四棱柱的底面是边长为 $2$ 的正方形，高 $h=4$。 $V_{\text{正四棱柱}}=a^{2}h=2^2\times 4=16$

第三步：计算几何体总体积 $V=V_{\text{圆柱}}-V_{\text{正四棱柱}}=16\pi -16$

故填入答案为：$16\pi -16$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三视图中虚实线的含义。实线代表可见轮廓，虚线代表不可见（内部）轮廓。

核心方法：割补法/挖空法。对于组合体或空心几何体，先求出主体形状体积，再减去多余部分。

避坑指南：注意俯视图中圆的直径由正视图顶部的分段刻度决定，即 $1+2+1=4$，不要误将 $2$ 当作半径。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：柱、锥、台、球的体积公式，三视图的投影规则。

结论推广：若一个大柱体（底面积 $S_1$）内挖去一个小柱体（底面积 $S_2$），且高度相同，则 $V=(S_1-S_2)h$。

方法推广：面对三视图题目，可以先根据俯视图锁定底面形状，再由正、侧视图确定高度和变化趋势（平齐、收缩或挖空）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2015-福建卷文-09 单-三视图
• 2015-新课标II卷文-06 单-三视图
• 2015-新课标I卷文-11 单-三视图