2013-辽宁卷理-15 填-椭圆性质

本题导读

本题考查椭圆，以及椭圆的几何性质。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(理)） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的左焦点为 $F$，$C$ 与过原点的直线相交于 $A,B$ 两点，连接 $AF,BF$.若 $|AB|=10,|AF|=6,\cos \angle ABF=\frac{4}{5}$，则 $C$ 的离心率 $e=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 解三角形求边长：在 $△AFB$ 中，已知两边 $|AB|,|AF|$ 及 $\angle ABF$ 的余弦值。利用余弦定理建立关于 $|BF|$ 的二次方程，求出 $|BF|$。
2. 利用对称性转化：由于 $A,B$ 关于原点对称，$F$ 是左焦点，设右焦点为 $F^{\prime }$。根据椭圆的中心对称性可知，距离 $|BF|$ 等于距离 $|A{F}^{\prime }|$。
3. 应用椭圆定义：在点 $A$ 处应用椭圆第一定义，即 $|AF|+|A{F}^{\prime }|=2a$。由此求出 $a$。
4. 求焦距与离心率：在直角三角形或利用几何性质求出半焦距 $c$，最后根据 $e=\frac{c}{a}$ 计算离心率。

✅【答案】

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$\frac{5}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：在 $△AFB$ 中求 $|BF|$ 由余弦定理：$|AF{|}^2=|AB{|}^2+|BF{|}^2-2|AB|\cdot |BF|\cos \angle ABF$ 将已知数据代入： $6^2=10^2+|BF{|}^2-2\cdot 10\cdot |BF|\cdot \frac{4}{5}$ $36=100+|BF{|}^2-16|BF|$ $|BF{|}^2-16|BF|+64=0$ $(|BF|-8{)}^2=0⟹|BF|=8$

第二步：判定三角形形状与焦距 在 $△AFB$ 中，边长分别为 $6,8,10$。 因为 $6^2+8^2=10^2$（即 $|AF{|}^2+|BF{|}^2=|AB{|}^2$），所以 $△AFB$ 是以 $AB$ 为斜边的直角三角形，$\angle AFB=90^{\circ }$。 连接 $OF$（$O$ 为坐标原点）。在直角三角形 $AFB$ 中，$OF$ 是斜边 $AB$ 上的中线。 根据直角三角形性质，中线长等于斜边的一半： $c=|OF|=\frac{1}{2}|AB|=\frac{1}{2}\times 10=5$

第三步：利用对称性求 $a$ 设 $F_2$ 为椭圆的右焦点。由于 $A,B$ 关于原点对称，$F$ 与 $F_2$ 关于原点对称。 由中心对称性得：$|A{F}_2|=|BF|=8$。 根据椭圆定义： $2a=|AF|+|A{F}_2|=6+8=14⟹a=7$

第四步：计算离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{5}{7}$

故填入答案为：$\frac{5}{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的中心对称性（$A,B$ 关于原点对称则 $|B{F}_1|=|A{F}_2|$）；椭圆定义 $P{F}_1+P{F}_2=2a$。

核心方法：通过解三角形（余弦定理）获得几何长度，再利用圆锥曲线的定义进行量化转换。

避坑指南：注意发现 $6,8,10$ 这组勾股数，能极大地简化求 $c$ 的过程。如果不发现直角，则需要通过坐标法或复杂的几何推导求 $c$，费时费力。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆的第二定义（准线）、焦半径公式。

结论推广：凡是涉及“过原点的弦”与“焦点”构成的四边形（如 $A{F}_{1}B{F}_2$），由于其对角线互相平分，必为平行四边形。

方法推广：在解析几何填空题中，优先寻找特殊的几何关系（如垂直、等腰、勾股数），往往比纯代数计算更高效。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2023-新高考II卷-05 单-椭圆
• 2015-新课标II卷文-20 解-椭圆
• 2013-安徽卷文-21 解-椭圆切线唯一性