2014-大纲卷文-19 解-三垂线与二面角

本题导读

(1) 侧面 $A A_{1} C_{1} C$ 为菱形， $A C_{1} ⊥ A_{1} C$ ， $B C ⊥$ 该侧面，由三垂线定理 $A C_{1} ⊥ A_{1} B$ ；(2) $A_{1} D = A_{1} E = 3$ ， $tan ∠ A_{1} F D = 15$ ，二面角为 $arctan 15$ 。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(文)）如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $A_{1}$ 在平面 $A B C$ 内的射影 $D$ 在 $A C$ 上， $∠ A C B = 9 0^{\circ}$ ， $B C = 1$ ， $A C = C C_{1} = 2$ .

(1) 证明: $A C_{1} ⊥ A_{1} B$ ;

(2) 设直线 $A A_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的距离为 $3$ ，求二面角 $A_{1} - A B - C$ 的大小.

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(1) 侧面 $A A_{1} C_{1} C$ 为菱形， $A C_{1} ⊥ A_{1} C$ ， $B C ⊥$ 该侧面，由三垂线定理 $A C_{1} ⊥ A_{1} B$ ；(2) $A_{1} D = A_{1} E = 3$ ， $tan ∠ A_{1} F D = 15$ ，二面角为 $arctan 15$ 。

✅【答案】

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见解析 (2) 二面角 $A_{1} - A B - C$ 的大小为 $arctan 15$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $A_{1} D ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A_{1} D \subset$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ，故平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $A B C$ 。

$B C ⊥ A C$ （ $∠ A C B = 9 0^{\circ}$ ）， $A C$ 是两面交线，故 $B C ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ 。

$A A_{1} ∥ C C_{1}$ 且 $A A_{1} = C C_{1} = 2 = A C$ ，侧面 $A A_{1} C_{1} C$ 是平行四边形；又 $A_{1}$ 的射影 $D$ 在 $A C$ 上， $A_{1} D ⊥ A C$ ，对角线 $A_{1} C$ 与 $A C_{1}$ 互相垂直，故侧面 $A A_{1} C_{1} C$ 为菱形， $A C_{1} ⊥ A_{1} C$ 。

连接 $A_{1} B$ 。 $A_{1} B$ 在平面 $A A_{1} C_{1} C$ 内的射影是 $A_{1} C$ （因 $B C ⊥$ 该平面， $B$ 在该平面上的射影是 $C$ ），由三垂线定理， $A C_{1} ⊥ A_{1} B$ 。

(2) $B C ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ，故平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ 。在侧面 $A A_{1} C_{1} C$ 内作 $A_{1} E ⊥ C C_{1}$ ，垂足为 $E$ ，则 $A_{1} E ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ 。

$A A_{1} ∥ C C_{1}$ ，故 $A A_{1} ∥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ， $A_{1} E$ 就是直线 $A A_{1}$ 与该平面的距离， $A_{1} E = 3$ 。

菱形中 $A_{1} C$ 平分 $∠ A C C_{1}$ ，而 $A_{1} D ⊥ A C$ 、 $A_{1} E ⊥ C C_{1}$ ，所以 $A_{1} D = A_{1} E = 3$ 。

于是 $A D = A A_{1}^{2} - A_{1} D^{2} = 4 - 3 = 1$ ， $D$ 为 $A C$ 中点。

在 $△ A B C$ 内作 $D F ⊥ A B$ ，垂足 $F$ ，连接 $A_{1} F$ 。由 $A_{1} D ⊥$ 平面 $A B C$ 及三垂线定理， $A_{1} F ⊥ A B$ ，故 $∠ A_{1} F D$ 是二面角 $A_{1} - A B - C$ 的平面角。

以 $C$ 为原点、 $C A$ 为 $x$ 轴建立平面直角坐标系： $C (0, 0)$ ， $A (2, 0)$ ， $B (0, 1)$ ， $D (1, 0)$ 。直线 $A B$ ： $x + 2 y - 2 = 0$ ， $D F = \frac{∣1 - 2∣}{1 + 4} = \frac{1}{5}$ 。

$tan ∠ A_{1} F D = \frac{A _{1} D}{D F} = 3 \cdot 5 = 15$ 。

所以二面角 $A_{1} - A B - C$ 的大小为 $arctan 15$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：面面垂直的判定与性质；三垂线定理；二面角的平面角

核心方法：“菱形对角线 + 三垂线”证线线垂直；几何法作出平面角再用解直角三角形

避坑指南：①(2) 的枢纽是 $A_{1} D = A_{1} E = 3$ （菱形对角线平分内角 ⟹ 角平分线上点到两边等距），别把 $3$ 直接当成 $A_{1}$ 到底面的距离；② $tan$ 值 $15$ 对应的角度不是特殊角，答案写反三角函数形式即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 立体几何解答题（doc 考点定位：立体几何），与 2014 年新课标Ⅰ理第 19 题（三棱柱二面角）同型。

结论推广: 一般地，“斜线在面内的射影 + 面内一直线”的结构优先想三垂线定理；二面角无棱时可在面内作棱的垂线构造平面角。

方法推广: 立体几何证明题：先证面面垂直取得”垂线”，再用三垂线（或其逆定理）把垂直关系传递到目标线段。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

13.03 空间点、线、面位置关系

13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

2014-新课标II卷文-18 解-线面平行与距离

2014-新课标I卷文-19 解-线面垂直与棱柱高

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2014-大纲卷文-19 解-三垂线与二面角

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