2014-大纲卷理-18 解-等差数列通项

本题导读

本题考查等差数列通项公式的确定及数列求和。第一问关键在于通过 $S_n\le S_4$ 锁定项的正负临界点，从而确定公差；第二问则是典型的分式型数列求和，采用裂项相消法求解。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(理)） 等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，已知 $a_1=13$，$a_2$ 为整数，且 $S_n\le S_4$ 对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 均成立.

(1) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 设 $b_n=\frac{1}{a_n{a}_{n+1}}$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问的关键转化：

   • $S_n\le S_4$ 恒成立，意味着 $S_4$ 是前 $n$ 项和的最大值。

   • 在等差数列中，这要求前 4 项均为非负数，且从第 5 项开始变为负数（或第 4 项为 0 且第 5 项为负）。

   • 即：$a_4\ge 0$ 且 $a_5\le 0$。

   • 利用 $a_1=13$ 和 $a_n=a_1+(n-1)d$ 建立关于 $d$ 的不等式组，结合 $a_2$ 为整数确定 $d$。

2. 第二问的求和技巧：

   • 观察 $b_n=\frac{1}{a_n{a}_{n+1}}$，分母是等差数列相邻两项的乘积。

   • 利用裂项公式 $\frac{1}{a_n{a}_{n+1}}=\frac{1}{d}(\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}})$ 进行拆分。

   • 累加后中间项抵消，保留首末两项。

✅【答案】

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所以 $\{a_n\}$ 的通项公式为：；则 $T_n=b_1+b_2+\cdots +b_n$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解：

设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。

因为 $S_n\le S_4$ 对任意 $n$ 恒成立，

所以 $\{\begin{array}{l}{a}_4\ge 0\\ a_5\le 0\end{array}$。

代入 $a_1=13$ 得：

$\{\begin{array}{l}13+3d\ge 0\\ 13+4d\le 0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}d\ge -\frac{13}{3}\\ d\le -\frac{13}{4}\end{array}$。

即 $-\frac{13}{3}\le d\le -\frac{13}{4}$，约 $-4.33\le d\le -3.25$。

又因为 $a_2=a_1+d=13+d$ 为整数，所以 $d$ 必须为整数。

在上述范围内的整数只有 $d=-4$。

所以 $\{a_n\}$ 的通项公式为：

$a_n=a_1+(n-1)d=13+(n-1)(-4)=17-4n$。

(2) 解：

由 (1) 知 $a_n=17-4n$，则 $d=-4$。

$b_n=\frac{1}{a_n{a}_{n+1}}=\frac{1}{d}(\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}})=-\frac{1}{4}(\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}})$。

则 $T_n=b_1+b_2+\cdots +b_n$

$=-\frac{1}{4}[(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_2})+(\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_3})+\cdots +(\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}})]$

$=-\frac{1}{4}(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_{n+1}})$

代入 $a_1=13$，$a_{n+1}=17-4(n+1)=13-4n$：

$T_n=-\frac{1}{4}(\frac{1}{13}-\frac{1}{13-4n})$

$=-\frac{1}{4}(\frac{13-4n-13}{13(13-4n)})$

$=-\frac{1}{4}\cdot \frac{-4n}{13(13-4n)}=\frac{n}{13(13-4n)}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列前 $n$ 项和最值的判定（看项的正负切换点）。

2. 核心方法：裂项相消法。凡是分母为等差数列相邻项乘积的求和，均考虑此法。

3. 避坑指南：在裂项时，一定要注意系数 $\frac{1}{d}$。本题公差为 $-4$，系数为 $-\frac{1}{4}$，符号处理不当会导致全盘皆错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 数列极限、二阶等差数列。

2. 结论推广: 若 $S_n$ 有最大值，则 $a_1>0,d<0$；若 $S_n$ 有最小值，则 $a_1<0,d>0$。

3. 方法推广: 常见的裂项形式还包括 $\frac{1}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n+1}}}$ 和 $\frac{1}{n(n+k)}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型
• 19.01 等差数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2026-新高考I卷-07 单-等差数列通项
• 2013-新课标I卷理-07 单-等差数列通项
• 2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项