2014-山东卷理-16 解-向量坐标运算

本题导读

本题考查向量坐标运算与三角函数的综合应用。第一问通过待定系数法求参数；第二问涉及图象平移及最高点到定点距离的最值问题，综合性较强，要求学生具备扎实的三角变换及几何转化能力。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(理)） 已知向量 $\vec{a}=(m,\cos 2x)$，$\vec{b}=(\sin 2x,n)$，设函数 $f(x)=\vec{a}\cdot \vec{b}$，且 $y=f(x)$ 的图象过点 $(\frac{\pi }{12},\sqrt{3})$ 和点 $(\frac{2\pi }{3},-2)$.

(1) 求 $m,n$ 的值；

(2) 将 $y=f(x)$ 的图象向左平移 $\phi$（$0<\phi <\pi$）个单位后得到函数 $y=g(x)$ 的图象.若 $y=g(x)$ 的图象上各最高点到点 $(0,3)$ 的距离的最小值为 $1$，求 $y=g(x)$ 的单调增区间.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：利用向量数量积公式 $f(x)=m\sin 2x+n\cos 2x$，代入已知两个点的坐标，建立关于 $m,n$ 的方程组求解。
2. 第二问核心转化：
   • 平移变换：由 $f(x)$ 利用辅助角公式化为 $A\sin (\omega x+\alpha )$ 形式，再根据“左加右减”原则得到 $g(x)$。
   • 距离最值分析：$g(x)$ 的最高点纵坐标必为振幅 $A$。设最高点为 $(x_0,A)$。最高点到点 $(0,3)$ 的距离 $d=\sqrt{(x_0-0{)}^2+(A-3{)}^2}$。
   • 求单调区间：确定了相位参数后，利用正弦（或余弦）函数的单调性结论求解。

✅【答案】

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故 $y=g(x)$ 的单调增区间为 $[-\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\pi ]$ ($k\in \mathbb{Z}$)

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 由已知得 $f(x)=\vec{a}\cdot \vec{b}=m\sin 2x+n\cos 2x$。 因为 $f(x)$ 图象过点 $(\frac{\pi }{12},\sqrt{3})$ 和 $(\frac{2\pi }{3},-2)$，代入得：

$$\{\begin{array}{l}m\sin \frac{\pi }{6}+n\cos \frac{\pi }{6}=\sqrt{3}\\ m\sin \frac{4\pi }{3}+n\cos \frac{4\pi }{3}=-2\end{array}⟹\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}m+\frac{\sqrt{3}}{2}n=\sqrt{3}\\ -\frac{\sqrt{3}}{2}m-\frac{1}{2}n=-2\end{array}$$

解得：$m=\sqrt{3}$，$n=1$。

(2) 解： 由(1)知 $f(x)=\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x=2\sin (2x+\frac{\pi }{6})$。 将 $f(x)$ 图象左移 $\phi$ 个单位得： $g(x)=2\sin [2(x+\phi )+\frac{\pi }{6}]=2\sin (2x+2\phi +\frac{\pi }{6})$。 $g(x)$ 的最高点纵坐标均为 $2$。设任意一个最高点为 $(x_0,2)$。 该点到点 $(0,3)$ 的距离为 $d=\sqrt{(x_0-0{)}^2+(2-3{)}^2}=\sqrt{x_0^2+1}$。 要使 $d$ 的最小值为 $1$，即 $\sqrt{x_0^2+1}\ge 1$，当且仅当 $x_0=0$ 时取等号。 说明 $x=0$ 是 $g(x)$ 的一个最高点。 即 $g(0)=2\sin (2\phi +\frac{\pi }{6})=2⟹\sin (2\phi +\frac{\pi }{6})=1$。 因为 $0<\phi <\pi$，所以 $\frac{\pi }{6}<2\phi +\frac{\pi }{6}<2\pi +\frac{\pi }{6}$。 由 $2\phi +\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$，解得 $\phi =\frac{\pi }{6}$。 故 $g(x)=2\sin (2x+\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{6})=2\sin (2x+\frac{\pi }{2})=2\cos 2x$。

求 $g(x)=2\cos 2x$ 的单调增区间： 令 $-\pi +2k\pi \le 2x\le 2k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$) 解得 $-\frac{\pi }{2}+k\pi \le x\le k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$)。 故 $y=g(x)$ 的单调增区间为 $[-\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\pi ]$ ($k\in \mathbb{Z}$)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：辅助角公式的运用；平移变换中“左加右减”针对的是自变量 $x$。

2. 核心方法：几何转化。本题难点在于将“距离最小值”理解为“最高点中有一个在 $y$ 轴上”，这是破题的关键。

3. 避坑指南：在平移变换中，$2(x+\phi )$ 展开为 $2x+2\phi$，学生常漏掉倍数 $2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 正弦型函数的奇偶性判断。

2. 结论推广: 函数 $y=A\sin (\omega x+\varphi )$ 的对称轴、最值点与其解析式系数的关系。

3. 方法推广: 涉及距离最值的问题常伴随完全平方公式或数形结合。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.01 平面向量基本概念
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2025-新高考II卷-12 填-向量坐标运算
• 2023-北京卷-03 单-向量坐标运算
• 2014-广东卷文-03 单-向量坐标运算