2014-广东卷文-14 填-极坐标

本题导读

$C_1$ 两边乘 $\rho$ 化为 $2x^2=y$；$C_2$ 即 $x=1$，联立求交点。

📌【题干】

Question

（2014年广东卷(文)） （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 的方程分别为 $2\rho {\cos }^2\theta =\sin \theta$ 和 $\rho \cos \theta =1$，以极点为平面直角坐标系的原点、极轴为 $x$ 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 的交点的直角坐标为 $\underline{}$

🔍【思路分析】

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$\rho {\cos }^2\theta =\frac{x^2}{\rho }$ 提示两边乘 $\rho$。

✅【答案】

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$(1,2)$

✍【详细解析】

Abstract

$C_1$：$2\rho {\cos }^2\theta =\sin \theta$，两边同乘 $\rho$：$2{\rho }^2{\cos }^2\theta =\rho \sin \theta$，即 $2x^2=y$。 $C_2$：$\rho \cos \theta =1$，即 $x=1$。联立得 $x=1$，$y=2$，交点为 $(1,2)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极坐标方程与直角坐标方程互化

2. 核心方法：两边乘 $rho$ 消去分母

3. 避坑指南：$2\rho {\cos }^2\theta =\sin \theta$ 不能直接逐项替换（$\rho$ 在 ${\cos }^2\theta$ 的分母位置），两边同乘 $\rho$ 后再代入 $x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$；交点须同时满足两曲线。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 极坐标互化选做题（坐标系与参数方程模块）。

2. 结论推广: $\rho \cos \theta =x$，$\rho \sin \theta =y$，${\rho }^2=x^2+y^2$；含 $\frac{1}{\rho }$ 型方程先乘 $\rho$ 再互化。

3. 方法推广: 互化流程：整理为 $\rho f(\theta )=g(\theta )$ 形式 → 乘 $\rho$ → 代替换公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2014-广东卷理-14 填-极坐标互化
• 2014-新课标I卷理-23 解-圆与椭圆的参数方程