2014-广东卷理-07 单-空间中直线与直线的位置关系

本题导读

本题考查空间中直线与直线的垂直关系及其传递性问题。重点考查学生对空间想象能力的运用，以及通过建立空间模型（如正方体）来验证结论的能力。

📌【题干】

Question

（2014年广东卷(理)）若空间中四条两两不同的直线 $l_{1}, l_{2}, l_{3}, l_{4}$ 满足 $l_{1} ⊥ l_{2}, l_{2} ⊥ l_{3}, l_{3} ⊥ l_{4}$ ，则下列结论一定正确的是()

A. $l_{1} ⊥ l_{4}$ 　　　　　　　　　　　　　　B. $l_{1} // l_{4}$

C. $l_{1}, l_{4}$ 既不垂直也不平行　　　　　D. $l_{1}, l_{4}$ 的位置关系不确定

🔍【思路分析】

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显性空间垂直性质：空间中的垂直关系不具有交付性。

构建模型验证：利用最常见的空间模型——正方体，在正方体的棱中寻找符合条件的直线序列。

寻找反例：尝试构建不同的 $l_{4}$ ，看能否能够 $l_{1}, l_{4}$ 分别指向平行、垂直或异面等不同关系。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

我们可以利用正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 来进行分类讨论：

案例1（平行）：设置 $l_{1} = A B, l_{2} = B C, l_{3} = C D, l_{4} = D A$ 。虽然 $l_{1} ⊥ l_{2}, l_{2} ⊥ l_{3}, l_{3} ⊥ l_{4}$ 成立，但此时 $A B // C D$ 不符合条件题目（要求四条直线两不同，此案例中 $l_{1}$ 与 $l_{3}$ 换个选法：设 $l_{1} = A A_{1}, l_{2} = A B, l_{3} = B B_{1}, l_{4} = B C$ 。则 $l_{1} ⊥ l_{2}, l_{2} ⊥ l_{3}, l_{3} ⊥ l_{4}$ 均满足。此时 $l_{1} (A A_{1}) // l_{3} (B B_{1})$ ，而 $l_{1}$ 与 $l_{4} (B C)$ 是垂直关系。

案例2（纵向）：设置 $l_{1} = A B, l_{2} = B C, l_{3} = C C_{1}, l_{4} = C_{1} D_{1}$ 。 $l_{1} ⊥ l_{2}$ （ $A B ⊥ B C$ ） $l_{2} ⊥ l_{3}$ （ $B C ⊥ C C_{1}$ ） $l_{3} ⊥ l_{4}$ （ $C C_{1} ⊥ C_{1} D_{1}$ ）此时 $l_{1} (A B) // l_{4} (C_{1} D_{1})$ ，即 $l_{1}, l_{4}$ 平行线。

案例3（异面）：设置 $l_{1} = A B, l_{2} = B C, l_{3} = C C_{1}, l_{4} = C_{1} B_{1}$ 。此时 $l_{1} (A B)$ 与 $l_{4} (C_{1} B_{1})$ 是异面关系且不垂直。

综上说， $l_{1}$ 与 $l_{4}$ 可能平行、可能垂直、也可能异面。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：空间直线的垂直与位置关系。

核心方法：用正方体构造反例说明 $l_{1}, l_{4}$ 可能平行、垂直或异面。

避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 空间垂直关系无传递性。

结论推广: $l_{1} ⊥ l_{2} ⊥ l_{3} ⊥ l_{4}$ 不能确定 $l_{1}, l_{4}$ 的关系。

方法推广: 空间位置关系判断题用正方体模型构造反例。

🔗【关联脉络】

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13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

2014-广东卷文-09 单-空间直线位置

2013-陕西卷文-08 单-直线与圆位置关系

2024-甲卷理-10 单-线面位置关系

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2014-广东卷理-07 单-空间中直线与直线的位置关系

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