2014-新课标I卷理-01 单-交集及其运算

本题导读

本题考查一元二次不等式的解法以及集合交集的基本运算。重点在于准确求解二次不等式的解集区间，并通过数轴观察两个区间的重叠部分。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(理)） 已知集合 $A=\{x|x^2-2x-3\ge 0\}$，$B=\{x|-2\le x<2\}$，则 $A\cap B=$ ()

A. $[-2,-1]$　　　B. $[-1,2)$　　　C. $[-1,1]$　　　D. $[1,2)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解不等式确定集合 $A$：利用因式分解法解一元二次不等式 $x^2-2x-3\ge 0$。
2. 分析集合 $B$：集合 $B$ 已给出为连续区间 $[-2,2)$。
3. 求交集：寻找同时满足集合 $A$ 和集合 $B$ 条件的 $x$ 取值范围，建议利用数轴直观判定。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求解集合 $A$ 对于不等式 $x^2-2x-3\ge 0$，进行因式分解： $(x-3)(x+1)\ge 0$ 根据“大于取两边”的原则，解得： $x\ge 3\text{ 或 }x\le -1$ 即集合 $A=(-\infty ,-1]\cup [3,+\infty )$。

第二步：计算 $A\cap B$ 已知 $B=[-2,2)$。 在数轴上表示两个集合：

• 集合 $A$ 覆盖了 $-1$ 左侧（含）和 $3$ 右侧（含）的区域。
• 集合 $B$ 覆盖了从 $-2$（含）到 $2$（不含）的区域。 两者的公共部分（交集）为： $[-2,-1]$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：一元二次不等式的解法及集合的交集定义。

2. 核心方法：数轴法是处理区间交、并、补集最有效的工具，能有效避免端点值的遗漏或误选。

3. 避坑指南：注意区间端点的开闭关系（是否有等号）。本题中 $A$ 在 $-1$ 处是闭的，$B$ 在 $-2$ 处是闭的，因此交集端点均为闭区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 补集运算、含参数的不等式恒成立问题。

2. 结论推广: 若求 $A\cup B$，结果为 $(-\infty ,2)\cup [3,+\infty )$。

3. 方法推广: 处理此类问题的一般步骤为：化简集合（解不等式/方程） $\to$ 画数轴 $\to$ 找公共部分。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2015-湖南卷文-11 填-集合运算
• 2015-新课标II卷文-01 单-集合运算
• 2015-广东卷文-01 单-集合运算