2014-新课标I卷理-21 解-求曲线的切线

本题导读

本题是全卷的压轴大题。第一问考查导数的几何意义，通过切线方程确定函数待定系数；第二问考查函数不等式的证明，核心技巧在于通过变形将不等式转化为两个独立函数最值的比较（即“最高点”与“最低点”的关系），体现了极强的化归与转化思想。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(理)） 设函数 $f(x)=a{e}^x\ln x+\frac{b{e}^{x-1}}{x}$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为 $y=e(x-1)+2$.

(1) 求 $a,b$；

(2) 证明：$f(x)>1$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：几何意义求参
   • 确定定义域为 $(0,+\infty )$。
   • 利用切线方程 $y=e(x-1)+2$ 可知：切点处函数值 $f(1)=2$，切线斜率 $f^{\prime }(1)=e$。
   • 对 $f(x)$ 求导，联立方程组解出 $a,b$。
2. 第二问：不等式证明
   • 代入 $a,b$ 得 $f(x)=e^x\ln x+\frac{2e^{x-1}}{x}$。
   • 要证 $f(x)>1$，即证 $e^x\ln x+\frac{2e^{x-1}}{x}>1$。
   • 关键变形：两边同除以 $e^x$（或通过移项化简），尝试将 $x$ 的项进行分离。
   • 变形为 $\ln x>\frac{1}{e^x}-\frac{2}{ex}$。
   • 进一步转化为 $x\ln x>x{e}^{-x}-\frac{2}{e}$。
   • 构造两个辅助函数 $g(x)=x\ln x$ 和 $h(x)=x{e}^{-x}-\frac{2}{e}$。
   • 分别通过求导求出 $g(x)$ 的最小值和 $h(x)$ 的最大值。若 $g(x{)}_{min}>h(x{)}_{max}$，则原不等式得证。

✅【答案】

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第 (1) 小题：求参数 $a,b$；$a=1,b=2$；第 (2) 小题：证明 $f(x)>1$

✍【详细解析】

Abstract

第 (1) 小题：求参数 $a,b$ 函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty )$。 求导得：$f^{\prime }(x)=a{e}^x\ln x+\frac{a{e}^x}{x}+\frac{b{e}^{x-1}(x-1)}{x^2}$（注意后项使用了商的导数法则）。 由切线方程 $y=e(x-1)+2$ 知：

1. 当 $x=1$ 时，$f(1)=2$。代入得：$a{e}^1\ln 1+\frac{b{e}^{1-1}}{1}=b=2⟹b=2$。
2. 切线斜率为 $e$，即 $f^{\prime }(1)=e$。代 substitute $b=2$ 代入得： $f^{\prime }(1)=a{e}^1\ln 1+\frac{a{e}^1}{1}+\frac{2e^0(1-1)}{1^2}=ae=e⟹a=1$。 故 $a=1,b=2$。

第 (2) 小题：证明 $f(x)>1$ 由 (1) 知，$f(x)=e^x\ln x+\frac{2e^{x-1}}{x}$。 欲证 $f(x)>1$，即证 $e^x\ln x+\frac{2}{ex}{e}^x>1$。 两边同除以 $e^x>0$ 得：$\ln x+\frac{2}{ex}>e^{-x}⟺\ln x>e^{-x}-\frac{2}{ex}$。 两边同乘以 $x>0$ 得：$x\ln x>x{e}^{-x}-\frac{2}{e}$。

设 $g(x)=x\ln x$，则 $g^{\prime }(x)=1+\ln x$。 令 $g^{\prime }(x)=0⟹x=\frac{1}{e}$。

• 当 $x\in (0,\frac{1}{e})$ 时，$g^{\prime }(x)<0$，$g(x)$ 单调递减；
• 当 $x\in (\frac{1}{e},+\infty )$ 时，$g^{\prime }(x)>0$，$g(x)$ 单调递增。 故 $g(x{)}_{min}=g(\frac{1}{e})=\frac{1}{e}\ln \frac{1}{e}=-\frac{1}{e}$。

设 $h(x)=x{e}^{-x}-\frac{2}{e}$，则 $h^{\prime }(x)=e^{-x}-x{e}^{-x}=e^{-x}(1-x)$。 令 $h^{\prime }(x)=0⟹x=1$。

• 当 $x\in (0,1)$ 时，$h^{\prime }(x)>0$，$h(x)$ 单调递增；
• 当 $x\in (1,+\infty )$ 时，$h^{\prime }(x)<0$，$h(x)$ 单调递减。 故 $h(x{)}_{max}=h(1)=1\cdot e^{-1}-\frac{2}{e}=\frac{1}{e}-\frac{2}{e}=-\frac{1}{e}$。

综上所述，对于 $x>0$，$g(x)\ge -\frac{1}{e}$（当且仅当 $x=\frac{1}{e}$ 时取等号）， $h(x)\le -\frac{1}{e}$（当且仅当 $x=1$ 时取等号）。 由于 $g(x)$ 与 $h(x)$ 取得最值时的 $x$ 值不同（$\frac{1}{e}\ne 1$）， 所以 $g(x)>h(x)$ 恒成立。 即 $x\ln x>x{e}^{-x}-\frac{2}{e}⟹f(x)>1$ 得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义、利用导数研究函数最值证明不等式。

2. 核心方法：分离变量构造两个辅助函数，比较各自最值（双函数最值模型）。

3. 避坑指南：第一问中关于 $b$ 的求导项涉及复合函数和商的求导，计算时极易丢掉系数或符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 凸函数、泰勒展开近似分析、函数的隐零点问题。

2. 结论推广: 此类问题通常称为“双函数最值模型”，即证明 $f(x)>g(x)$ 转化为证明 $f(x{)}_{min}>g(x{)}_{max}$。

3. 方法推广: 面对含 $e^x$ 与 $\ln x$ 的混合不等式，尝试利用 $\ln x\le x-1$ 或 $e^x\ge x+1$ 等切线放缩不等式也是常见思路。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷理-21 解-曲线的切线方程
• 2015-广东卷文-15 填-圆的切线
• 2015-山东卷文-13 填-圆的切线