2014-新课标II卷文-10 单-抛物线焦点弦

本题导读

$2p=3$，倾斜角 $30^{\circ }$，$|AB|=\frac{3}{{\sin }^{2}30^{\circ }}=12$，选 C。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(文)） 设 $F$ 为抛物线 $C:y^2=3x$ 的焦点，过 $F$ 且倾斜角为 $30^{\circ }$ 的直线交 $C$ 于 $A$，$B$ 两点，则 $|AB|=$ ()

A. $\frac{\sqrt{30}}{3}$　　　　　　　B. 6　　　　　　　C. 12　　　　　　　D. $7\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

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$2p=3$，倾斜角 $30^{\circ }$，$|AB|=\frac{3}{{\sin }^{2}30^{\circ }}=12$，选 C。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y^2=2px$ 中 $2p=3$，焦点弦长公式：过焦点、倾斜角为 $\theta$ 的弦长

$|AB|=\frac{2p}{{\sin }^2\theta }=\frac{3}{{\sin }^{2}30^{\circ }}=\frac{3}{\frac{1}{4}}=12$。

故选 C

（公式推导：设 $|AF|=m$，$|BF|=n$，由抛物线定义 $m$、$n$ 等于 $A$、$B$ 到准线的距离，投影到对称轴方向可得 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{2}{2p\cdot {\csc }^2\theta }$ 的标准结果，即 $|AB|=\frac{2p}{{\sin }^2\theta }$。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线的焦点弦长公式

2. 核心方法：直接套用 $|AB|=\frac{2p}{{\sin }^2\theta }$

3. 避坑指南：公式中是 ${\sin }^2\theta$（正弦的平方）在分母——倾斜角越小弦越长；$y^2=3x$ 的 $2p=3$ 别当成 $p=3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 抛物线焦点弦题（doc 考点定位：抛物线），与 2014 年新课标Ⅰ文第 10 题（焦半径定义）同卷同章。

2. 结论推广: 一般地，$y^2=2px$ 的焦点弦：$\theta =90^{\circ }$ 时通径最短 $2p$；$\theta \to 0$ 时弦长趋于无穷大。

3. 方法推广: 圆锥曲线焦点弦优先想定义（化斜为直），熟记 $|AB|=\frac{2p}{{\sin }^2\theta }$ 可秒算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-10 单-抛物线焦半径
• 2015-新课标I卷文-05 单-椭圆与抛物线