2014-新课标II卷文-18 解-线面平行与距离

本题导读

(1) 取 $AC$ 中点 $G$，$EG$ 是 $△PBD$ 中位线；(2) 由体积定 $AB=\frac{3}{2}$，再用 $V(A\text{-}PBC)=V(P\text{-}ABC)=\frac{\sqrt{3}}{4}$ 与 $S_{△PBC}=\frac{\sqrt{39}}{4}$ 得距离 $\frac{3\sqrt{13}}{13}$。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(文)） 如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为矩形，$PA\perp$ 平面 $ABCD$，$E$ 为 $PD$ 的中点.

(1) 证明：$PB\parallel$ 平面 $AEC$；

(2) 设 $AP=1$，$AD=\sqrt{3}$，三棱锥 $P-ABD$ 的体积 $V=\frac{\sqrt{3}}{4}$，求 $A$ 到平面 $PBC$ 的距离.

🔍【思路分析】

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(1) 取 $AC$ 中点 $G$，$EG$ 是 $△PBD$ 中位线；(2) 由体积定 $AB=\frac{3}{2}$，再用 $V(A\text{-}PBC)=V(P\text{-}ABC)=\frac{\sqrt{3}}{4}$ 与 $S_{△PBC}=\frac{\sqrt{39}}{4}$ 得距离 $\frac{3\sqrt{13}}{13}$。

✅【答案】

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(1) 见解析 (2) $A$ 到平面 $PBC$ 的距离为 $\frac{3\sqrt{13}}{13}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设 $AC$ 的中点为 $G$，连接 $EG$。矩形 $ABCD$ 中，$G$ 也是对角线 $BD$ 的中点。

在 $△PBD$ 中，$E$、$G$ 分别是 $PD$、$BD$ 的中点，故 $EG$ 是中位线，$EG\parallel PB$。

$EG\subset$ 平面 $AEC$，$PB\not\subset$ 平面 $AEC$，所以 $PB\parallel$ 平面 $AEC$。

(2) $PA\perp$ 平面 $ABCD$，$PA$ 是三棱锥 $P-ABD$ 的高，$S_{△ABD}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD$。

$V=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\cdot AB\cdot \sqrt{3}\times 1=\frac{\sqrt{3}}{4}$，解得 $AB=\frac{3}{2}$。

求 $A$ 到平面 $PBC$ 的距离，用等体积：$V_{A-PBC}=V_{P-ABC}$。

$V_{P-ABC}=\frac{1}{3}\cdot S_{△ABC}\cdot PA=\frac{1}{3}\times \left(\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}\times \sqrt{3}\right)\times 1=\frac{\sqrt{3}}{4}$。

底面矩形中 $BC\perp AB$，又 $BC\perp PA$，故 $BC\perp$ 平面 $PAB$，从而 $BC\perp PB$，$S_{△PBC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot PB=\frac{1}{2}\times \sqrt{3}\times \sqrt{1+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}=\frac{1}{2}\times \sqrt{3}\times \frac{\sqrt{13}}{2}=\frac{\sqrt{39}}{4}$。

设 $A$ 到平面 $PBC$ 的距离为 $h$：$\frac{1}{3}\cdot S_{△PBC}\cdot h=\frac{\sqrt{3}}{4}$，

$h=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{39}}=\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线与平面平行的判定；等体积法求点面距离

2. 核心方法：中位线构造平行线；“换顶点等体积”

3. 避坑指南：①证线面平行先在平面内找一条与 $PB$ 平行的直线——两个中点（$E$、$G$）是信号；②求 $A$ 到面 $PBC$ 的距离时把三棱锥”换顶点”（$A$ 与 $P$ 互换），底面积 $S_{△PBC}$ 要先证 $BC\perp PB$ 才能用 $\frac{1}{2}BC\cdot PB$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 立体几何常规解答题（doc 考点定位：立体几何），与 2014 年新课标Ⅰ文第 19 题同卷同型。

2. 结论推广: 一般地，中点 + 中点 ⟹ 中位线平行是线面平行的首选构图；点面距离优先等体积法，“换哪个顶点”取决于哪个体积好算。

3. 方法推广: 立体几何解答题两段式：位置关系用判定定理（找线线平行/垂直），度量问题用等体积或建系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-19 解-线面垂直与棱柱高
• 2015-新课标I卷文-18 解-立体几何综合