2014-福建卷文-21 解-抛物线

本题导读

第(1)问把“到 $F(0,1)$ 的距离比到 $y=-3$ 的距离小 2”转译为“到 $F$ 与到 $y=-1$ 等距”，即抛物线定义，直接写出 $x^2=4y$。第(2)问设 $P(t,\frac{t^2}{4})$，求切线得 $A$、$M$，圆 $C$ 以 $MN$ 为直径，最后用切线长 $A{B}^2=A{C}^2-r^2$ 看是否为定值。

📌【题干】

Question

（2014年福建卷(文)） 已知曲线 $\Gamma$ 上的点到点 $F(0,1)$ 的距离比它到直线 $y=-3$ 的距离小 2.

(1) 求 $\Gamma$ 的方程；

(2) $\Gamma$ 在点 $P$ 处的切线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $A$，直线 $y=3$ 分别与 $l$ 及 $y$ 轴交于点 $M$、$N$.以 $MN$ 为直径作圆 $C$，过 $A$ 作圆 $C$ 的切线，切点为 $B$.探究：当 $P$ 在 $\Gamma$ 上运动（$P$ 与原点不重合）时，线段 $AB$ 的长度是否变化？证明结论.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) “小 2”即把准线 $y=-3$ 上移 2 得 $y=-1$：到 $F(0,1)$ 与到 $y=-1$ 距离相等 $\Rightarrow$ 抛物线 $x^2=4y$。 (2) 设 $P\left(t,\frac{t^2}{4}\right)(t\ne 0)$，$y^{\prime }=\frac{x}{2}$，切线 $y=\frac{t}{2}x-\frac{t^2}{4}$；$A\left(\frac{t}{2},0\right)$，$M\left(\frac{t}{2}+\frac{6}{t},3\right)$，$N(0,3)$；圆心 $C\left(\frac{t}{4}+\frac{3}{t},3\right)$，$r=\frac{1}{2}\left|\frac{t}{2}+\frac{6}{t}\right|$；算 $A{B}^2=A{C}^2-r^2$。

✅【答案】

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(1) $\Gamma$ 的方程；(2) 探究 $AB$ 是否为定值并证明

✍【详细解析】

详细解析

(1) 由题意，$\Gamma$ 上的点 $Q$ 满足 $|QF|=d(Q,y=-3)-2=d(Q,y=-1)$，故 $\Gamma$ 是以 $F(0,1)$ 为焦点、$y=-1$ 为准线的抛物线：$x^2=4y$（即 $y=\frac{x^2}{4}$）。 (2) 设 $P\left(t,\frac{t^2}{4}\right)(t\ne 0)$。由 $y=\frac{x^2}{4}$ 得 $y^{\prime }=\frac{x}{2}$，切线 $l:y=\frac{t}{2}x-\frac{t^2}{4}$。 令 $y=0$ 得 $A\left(\frac{t}{2},0\right)$；令 $y=3$ 得 $M\left(\frac{t}{2}+\frac{6}{t},3\right)$，$N(0,3)$。 圆 $C$ 以 $MN$ 为直径，圆心 $C\left(\frac{t}{4}+\frac{3}{t},3\right)$，半径 $r=\frac{1}{2}\left|\frac{t}{2}+\frac{6}{t}\right|$。 $A{C}^2={\left(\frac{t}{2}-\frac{t}{4}-\frac{3}{t}\right)}^2+(0-3{)}^2={\left(\frac{t}{4}-\frac{3}{t}\right)}^2+9=\frac{t^2}{16}-\frac{3}{2}+\frac{9}{t^2}+9$； $r^2=\frac{1}{4}{\left(\frac{t}{2}+\frac{6}{t}\right)}^2=\frac{t^2}{16}+\frac{3}{2}+\frac{9}{t^2}$。 所以 $A{B}^2=A{C}^2-r^2=\left(\frac{t^2}{16}-\frac{3}{2}+\frac{9}{t^2}+9\right)-\left(\frac{t^2}{16}+\frac{3}{2}+\frac{9}{t^2}\right)=6$，即 $AB=\sqrt{6}$，与 $t$ 无关。 故当 $P$ 在 $\Gamma$ 上运动时，线段 $AB$ 的长度不变，恒为 $\sqrt{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线的定义、切线方程与切线长
2. 核心方法：距离条件等价转化 + 设参运算 + 切线长公式
3. 避坑指南：第(1)问“小 2”的转化方向别弄反（把 $y=-3$ 上移 2 变 $y=-1$，而非把点下移）；第(2)问 $M$ 的横坐标是 $\frac{t}{2}+\frac{6}{t}$，若把 6 错写成 3，则 $A{B}^2$ 算出 $\frac{15}{2}$ 的错误定值——参数化运算必须逐项核对。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题把“抛物线定义 + 切线 + 圆的切线长”三块知识缝合为一个定值问题，是福建卷压轴之外最具区分度的解析几何题。
2. 结论推广: 由 $A{C}^2-r^2=6$ 可见定值源于圆心到 $A$ 的水平距离中的一次项完全抵消，这种“交叉项相消”是抛物线切线系定值问题的代数根源。
3. 方法推广: 求“变点运动中的定长/定值”时，标准流程为：设参 — 表达 — 化简 — 观察消参；切线长问题优先用 $A{B}^2=A{C}^2-r^2$（勾股定理），避免解出 $B$ 点坐标。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.00 知识网络

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷理-20 解-导数单调性与极值
• 2014-新课标I卷理-21 解-求曲线的切线