2014-重庆卷理-15 填-直线参数方程

本题导读

本题考查直线参数方程与曲线极坐标方程的综合应用。解题核心在于通过坐标转换，将直线和曲线统一到直角坐标系下进行联立求解，最后利用极径的定义得出结果。

📌【题干】

Question

（2014年重庆卷(理)） 已知直线 $l$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=3+t\end{array}$ ($t$ 为参数)，以坐标原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho {\sin }^2\theta -4\cos \theta =0$ ($\rho \ge 0,0\le \theta <2\pi$)，则直线 $l$ 与曲线 $C$ 的公共点的极径 $\rho =$ $\underline{}$.


🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化直线方程：消去参数 $t$，将直线的参数方程转化为直角坐标系下的普通方程。
2. 转化曲线方程：利用极坐标与直角坐标的互化公式 $x=\rho \cos \theta$, $y=\rho \sin \theta$, $x^2+y^2={\rho }^2$。
   • 对于 $\rho {\sin }^2\theta -4\cos \theta =0$，两边同乘以 $\rho$ 得到 ${\rho }^2{\sin }^2\theta -4\rho \cos \theta =0$，进而化为直角坐标方程。
3. 联立求解：将直角坐标系下的直线方程与曲线方程联立，求出公共点的直角坐标 $(x,y)$。
4. 计算极径：根据极径的几何意义 $\rho =\sqrt{x^2+y^2}$ 计算结果。

✅【答案】

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$\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化直线参数方程为普通方程 由 $\{\begin{array}{l}x=2+t\text{(1)}\\ y=3+t\text{(2)}\end{array}$ ② - ① 得：$y-x=1$，即直线 $l$ 的直角坐标方程为 $x-y+1=0$。

第二步：化曲线极坐标方程为直角坐标方程 已知曲线 $C$：$\rho {\sin }^2\theta -4\cos \theta =0$ 方程两边同乘以 $\rho$（当 $\rho =0$ 时，原点满足方程，不影响整体轨迹）： ${\rho }^2{\sin }^2\theta -4\rho \cos \theta =0$ 代入 $y=\rho \sin \theta$ 和 $x=\rho \cos \theta$： $y^2-4x=0$，即曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $y^2=4x$（开口向右的抛物线）。

第三步：联立方程组求交点 联立 $\{\begin{array}{l}x-y+1=0\\ y^2=4x\end{array}$ 将 $x=y-1$ 代入 $y^2=4x$： $y^2=4(y-1)$ $y^2-4y+4=0$ $(y-2{)}^2=0$ 解得 $y=2$。 代入直线方程得 $x=2-1=1$。 所以公共点的直角坐标为 $(1,2)$。

第四步：计算极径 $\rho$ 由极坐标定义可知，$\rho =\sqrt{x^2+y^2}$。 $\rho =\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。

故答案为 $\sqrt{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线参数方程与极坐标方程联立。

2. 核心方法：化参数方程为 $x-y+1=0$，化极坐标为 $y^2=4x$，联立求交点极径。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 参数方程、极坐标与直角坐标互化。

2. 结论推广: 极径 $\rho =\sqrt{x^2+y^2}$。

3. 方法推广: 参数/极坐标求公共点先统一到直角坐标。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷理-09 填-直线参数方程
• 2015-陕西卷文-23 解-参数方程
• 2014-辽宁卷文-23 解-参数方程