2014-陕西卷理-05 单-外接球

本题导读

本题考查多面体外接球的性质。解题关键在于识别正四棱柱外接球的直径等于该四棱柱的体对角线长度。

📌【题干】

Question

（2014年陕西卷(理)） 已知底面边长为 1，侧棱长为 $\sqrt{2}$ 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()

A. $\frac{32\pi }{3}$　　　　　　　B. $4\pi$　　　　　　　C. $2\pi$　　　　　　　D. $\frac{4\pi }{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别模型：正四棱柱是一个底面为正方形的直四棱柱，属于特殊的长方体。其外接球的直径等于该长方体的体对角线。
2. 计算直径：利用长方体体对角线公式 $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$，其中 $a=1,b=1,c=\sqrt{2}$。
3. 求半径与体积：由直径 $2R=d$ 求出半径 $R$，再代入球体体积公式 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设正四棱柱的底面边长为 $a=1$，侧棱长（高）为 $h=\sqrt{2}$。 由于正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，该球即为正四棱柱的外接球。

设球的半径为 $R$，直径为 $2R$。 根据长方体外接球的性质，体对角线即为球的直径：

$(2R{)}^2=a^2+a^2+h^2$ 代入数据得： $(2R{)}^2=1^2+1^2+(\sqrt{2}{)}^2=1+1+2=4$ 所以： $2R=2⟹R=1$

代入球的体积公式： $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 1^3=\frac{4\pi }{3}$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多面体与球的切接问题。长方体外接球的直径 $2R=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ 是解决此类问题的通用捷径。

2. 核心方法：补形法与模型转化。将正四棱柱视作长方体，利用其对称性快速定位球心。

3. 避坑指南：注意区分球的体积公式（$\frac{4}{3}\pi R^3$）与表面积公式（$4\pi R^2$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 正方体的内切球（$2r=a$）与棱切球（$2r=\sqrt{2}a$）。

2. 结论推广: 若正四棱柱底面边长为 $a$，高为 $h$，则外接球半径 $R=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+h^2}$。

3. 方法推广: 对于直棱柱外接球，其半径 $R$ 满足 $R^2=r^2+(\frac{h}{2}{)}^2$，其中 $r$ 为底面外接圆半径。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2026-新高考II卷-14 填-外接球
• 2013-天津卷文-10 填-正方体外接球
• 2014-大纲卷文-10 单-正四棱锥外接球