2015-广东卷文-05 单-余弦定理

本题导读

把 $a,c,\cos A$ 代入余弦定理得 $b$ 的二次方程，两根再由 $b<c$ 取舍。

📌【题干】

Question

（2015年广东卷(文)） 设 $△ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$．若 $a=2$，$c=2\sqrt{3}$，$\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 且 $b<c$，则 $b=$ ()

A. $3$　　　　　　　B. $2\sqrt{2}$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

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把 $a,c,\cos A$ 代入余弦定理得 $b$ 的二次方程，两根再由 $b<c$ 取舍。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由 $\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 且 $A\in (0,\pi )$，得 $A=\frac{\pi }{6}$。

由余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$：

$4=b^2+12-2\cdot b\cdot 2\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=b^2-6b+12$，

即 $b^2-6b+8=0$，$b=2$ 或 $b=4$。

由 $b<c=2\sqrt{3}\approx 3.46$，舍 $b=4$，故 $b=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦定理；特殊角 $\frac{\pi }{6}$

核心方法：余弦定理转化为二次方程，条件舍根

避坑指南：（1）$b=4$ 满足方程但不满足 $b<c$，必须舍去——“解出来 ≠ 符合题意”；（2）$2bc\cos A$ 中 $2\cdot b\cdot 2\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6b$，系数别算错；（3）大边对大角：$b<c⟺B<C$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：余弦定理 + 条件舍根是解三角形小题的经典配置，2015 广东卷以”已知两边及一边的对角余弦”呈现。

结论推广：本题亦可先用正弦定理：$A=30^{\circ }$，$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ 得 $\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$C=60^{\circ }$（$C>A$ 因 $c>a$）或 $120^{\circ }$，再由 $b<c$ 定 $C=60^{\circ }$，$B=90^{\circ }$，$b=\frac{a\sin B}{\sin A}=4$？——注意此路须同样用 $b<c$ 排除 $C=120^{\circ }$（此时 $b=4>c$），两法互证。

方法推广：“解三角形 + 舍根”的组合中，舍根依据通常是大边对大角或 $b<c$ 这类显式条件，方程解完后立即回头检验。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 11.02 余弦定理

类题演练(Links)

• 2014-广东卷理-12 填-余弦定理
• 2014-广东卷理-16 解-正弦型函数解析式确定
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