2017-上海卷-16 单-椭圆的参数方程

本题导读

本题考查椭圆的参数方程，以及平面向量的数量积。

📌【题干】

Question

（2017年上海卷） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $C_1:\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{4}=1$ 和 $C_2:\frac{y^2}{9}+x^2=1$.$P$ 为 $C_1$ 上的动点，$Q$ 为 $C_2$ 上的动点，$w$ 是 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}$ 的最大值.记 $\Omega =\{(P,Q)\mid P\text{ 在 }{C}_1\text{ 上},Q\text{ 在 }{C}_2\text{ 上 且 }\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=w\}$，则 $\Omega$ 中的元素有 ()

A. 2 个　　　　　B. 4 个　　　　　C. 8 个　　　　　D. 无穷个

🔍【思路分析】

破题导航

1. 参数化动点： 利用椭圆参数方程设点：

• $P$ 在 $C_1$ 上，设 $P(6\cos \alpha ,2\sin \alpha )$，$\alpha \in [0,2\pi )$。
• $Q$ 在 $C_2$ 上，设 $Q(\cos \beta ,3\sin \beta )$，$\beta \in [0,2\pi )$。

2. 表达数量积： $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=(6\cos \alpha )(\cos \beta )+(2\sin \alpha )(3\sin \beta )=6\cos \alpha \cos \beta +6\sin \alpha \sin \beta$。
3. 公式化简： 利用两角差的余弦公式：$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=6\cos (\alpha -\beta )$。
4. 确定最大值与点对：

• 余弦函数最大值为 1，故 $w=6$。
• 取得最大值的条件是 $\alpha -\beta =2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$。
• 在范围 $[0,2\pi )$ 内，即要求 $\alpha =\beta$。由于 $\alpha$ 可以取遍 $[0,2\pi )$ 上的任意值，对应的 $\beta$ 随之确定，从而存在无穷多对 $(P,Q)$。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D 【解析过程】 设 $P(6\cos \alpha ,2\sin \alpha )$，其中 $\alpha$ 为 $P$ 的参数； 设 $Q(\cos \beta ,3\sin \beta )$，其中 $\beta$ 为 $Q$ 的参数。 则向量 $\overrightarrow{OP}=(6\cos \alpha ,2\sin \alpha )$，$\overrightarrow{OQ}=(\cos \beta ,3\sin \beta )$。 计算数量积： $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=6\cos \alpha \cos \beta +6\sin \alpha \sin \beta$ $=6(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta )$ $=6\cos (\alpha -\beta )$。 因为 $\cos (\alpha -\beta )\le 1$，所以 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}$ 的最大值 $w=6$。 要使 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=6$，必须满足 $\cos (\alpha -\beta )=1$， 即 $\alpha -\beta =2k\pi (k\in \mathbb{Z})$。 在参数取值范围 $[0,2\pi )$ 内，这意味着 $\alpha =\beta$。 对于每一个确定的参数 $\alpha \in [0,2\pi )$，都有唯一的 $P$ 点和唯一的 $Q$ 点与之对应，使得 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=6$。 由于 $\alpha$ 的取值有无穷多个，因此满足条件的点对 $(P,Q)$ 有无穷多个。 即集合 $\Omega$ 中的元素有无穷个。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 参数方程的优越性：在处理圆或椭圆上的动点问题时，参数方程能将坐标间的约束关系转化为单一的角度变量，极大简化数量积或距离的运算。
• 几何直观：本题中 $C_1$ 的长轴在 $x$ 轴，$C_2$ 的长轴在 $y$ 轴。当两个向量“方向一致”且模长乘积最大时取得最值。
• 上海卷压轴选择题常带有“迷惑性”。若不进行严谨的代数推导，仅凭直觉可能会误选顶点对（如4个或8个）。通过两角差公式发现参数具有线性相关性是破题关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若 $C_2$ 的方程改为 $x^2+y^2=1$，最大值 $w$ 是否变化？元素个数是否依然无穷？
2. 知识关联：本题可引申至柯西不等式在向量环境下的应用。若数量积系数不相等，则需使用辅助角公式 $\sqrt{A^2+B^2}\cos (\alpha -\beta +\varphi )$ 来处理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-23 解-参数方程
• 2014-新课标I卷文-23 解-参数方程
• 2014-湖南卷文-12 填-参数方程