2017-全国卷II理-15 填-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的基本量计算，以及等差数列的前n项和公式。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷II(理)） 等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，$a_3=3$，$S_4=10$，则 ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{S_k}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求基本量：设等差数列首项为 $a_1$，公差为 $d$。利用 $a_3=3$ 和 $S_4=10$ 列出关于 $a_1$ 和 $d$ 的二元一次方程组，求出基本量。
2. 求和公式：代入等差数列前 $n$ 项和公式 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$，得到关于 $n$ 的表达式。
3. 裂项转化：观察待求式 $\frac{1}{S_k}$ 的结构，将其变形为 $\frac{2}{k(k+1)}$，并利用裂项公式 $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$ 进行拆分。
4. 求和抵消：将拆分后的各项相加，中间项正负抵消，保留首尾两项得出结果。

✅【答案】

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$\frac{2n}{n+1}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 第一步：求首项 $a_1$ 与公差 $d$ 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。 由题意得： $\{\begin{array}{l}{a}_1+2d=3\\ 4a_1+\frac{4\times 3}{2}d=10\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{a}_1+2d=3\\ 2a_1+3d=5\end{array}$ 解得： $\{\begin{array}{l}{a}_1=1\\ d=1\end{array}$

第二步：求 $S_n$ 的表达式 $S_n=n\times 1+\frac{n(n-1)}{2}\times 1=\frac{2n+n^2-n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}$。

第三步：裂项求和 待求项为： $\frac{1}{S_k}=\frac{1}{\frac{k(k+1)}{2}}=\frac{2}{k(k+1)}=2\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)$。 进行求和运算： ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{S_k}=2\left[\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\right]$ 中间项全部抵消，剩下： $=2\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=2\times \frac{n}{n+1}=\frac{2n}{n+1}$。

故答案为：$\frac{2n}{n+1}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 方程思想：数列问题中，基本量 $a_1$ 和 $d$ 是解决一切问题的钥匙，优先建立方程组。
• 裂项相消的特征：当通项公式的分母为两个连续项的乘积（如 $n(n+1)$ 或 $(2n-1)(2n+1)$）时，应高度敏锐地联想到裂项相消法。
• 对称性保留：在求和抵消过程中，务必关注保留项的对称性。若前端保留了第 1 项，后端必保留最后一项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 常见裂项公式：

• $\frac{1}{n(n+k)}=\frac{1}{k}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k})$
• $\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$

2. 结果验证： 当 $n=1$ 时，$\frac{1}{S_1}=\frac{1}{a_1}=1$；代入公式 $\frac{2\times 1}{1+1}=1$。 当 $n=2$ 时，$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$；代入公式 $\frac{2\times 2}{2+1}=\frac{4}{3}$。 验证结果准确无误。

3. 数学思想： 本题体现了从“基本量”到“通项/求和公式”再到“数列求和”的完整逻辑链路。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-13 填-等差数列
• 2013-新课标II卷文-17 解-等差数列
• 2014-江西卷文-13 填-等差数列