2026-新高考I卷-14 填-等比数列

本题导读

本题为 2026 年新高考 Ⅰ 卷填空压轴题。核心意图在于测试学生对数列前 $n$ 项和与通项内在约束关系的深刻理解，通过周期性局部块求和特征，考查如何将“存在某连续 9 项为等比数列”这一局部离散条件转化为不等式边界，从而求解公比 $q$ 的最大可能上界。

📌【题干】

Question

（2026年新高考I卷）设实数 $q$ 满足：存在数列 $\{a_n\}$ ，使得对于任意 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ ，均有 $a_1+a_2+\cdots +a_{3n}=n^2+n$ ，且 $\{a_n\}$ 中有某连续 9 项 $a_k,a_{k+1},\cdots ,a_{k+8}$ 是公比为 $q$ 的等比数列, 则 $q$ 的最大值为$\underline{}$ .

🔍【思路分析】

破题导航

1. 基本块求和分析：已知 $S_{3n}=n^2+n$。令 $A_n=a_{3n-2}+a_{3n-1}+a_{3n}$，则 $A_n=S_{3n}-S_{3n-3}=(n^2+n)-[(n-1{)}^2+(n-1)]=2n$。即每 3 项构成的一个大块其代数和是确定的： $a_1+a_2+a_3=2$ $a_4+a_5+a_6=4$ $a_7+a_8+a_9=6$ $\cdots$
2. 连续等比项与大块的重叠位置分析：这连续的 9 项等比数列必然会完全覆盖至少两个完整的三项大块 $A_m$。为了让公比 $q$ 取得最大值，这 9 项等比数列应放置在尽可能靠前的项（以利用较小的块和 $2n$），并且让其在块内的分布产生最大的跨度。
3. 建立关于 $q$ 的不等式关系：将连续 9 项表示为首项 $a$ 与公比 $q$ 的指数形式。通过将其中包含的完整 3 项块进行求和，利用块和 $A_m=2m$ 的确切代数等式，建立关于 $q$ 的多项式方程或不等式。通过对首项 $a$ 的正负性以及项的局部非负性约束进行极值放缩，求出 $q$ 的最大实数根。

✅【答案】

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$\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$（即 $\frac{\sqrt[3]{12}}{2}$）

✍【详细解析】

Abstract

(1)分析每 3 项的和（分组求和） 已知对于任意 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，前 $3n$ 项的和为： $S_{3n}=a_1+a_2+\cdots +a_{3n}=n^2+n$

我们可以求出每连续 3 项作为一个“块”的和。对于 $n\ge 2$： $a_{3n-2}+a_{3n-1}+a_{3n}=S_{3n}-S_{3n-3}=(n^2+n)-[(n-1{)}^2+(n-1)]=2n$ 当 $n=1$ 时，$a_1+a_2+a_3=S_3=2$，同样符合上式。

因此，各 3 项块的和依次为： 第 1 块：$a_1+a_2+a_3=2$ 第 2 块：$a_4+a_5+a_6=4$ 第 3 块：$a_7+a_8+a_9=6$ 第 4 块：$a_{10}+a_{11}+a_{12}=8$ …… 第 $n$ 块：$a_{3n-2}+a_{3n-1}+a_{3n}=2n$

(2)分析连续 9 项的等比数列 设这连续的 9 项为 $a_k,a_{k+1},\cdots ,a_{k+8}$，它们构成公比为 $q$ 的等比数列。令 $a_k=b$，则这 9 项可以表示为： $b,bq,b{q}^2,b{q}^3,b{q}^4,b{q}^5,b{q}^6,b{q}^7,b{q}^8$

这 9 个连续项在数列中的位置（即 $k$ 模 3 的余数）决定了它们如何与这些“ 3 项块”重叠。我们分情况讨论：

情况 1： $k\equiv 1(\mathrm{mod}3)$（刚好完整覆盖 3 个块） 设 $k=3m-2$（其中 $m\in {\mathbf{N}}^{\ast }$），则这 9 项刚好是第 $m,m+1,m+2$ 块的全部项。根据块和的公式有：

1. $b(1+q+q^2)=2m$
2. $b{q}^3(1+q+q^2)=2(m+1)$
3. $b{q}^6(1+q+q^2)=2(m+2)$

由 (1) 和 (2) 相除得 $q^3=\frac{m+1}{m}$，由 (2) 和 (3) 相除得 $q^3=\frac{m+2}{m+1}$。 从而有 $\frac{m+1}{m}=\frac{m+2}{m+1}⟹(m+1{)}^2=m(m+2)⟹1=0$，此情况无解。 情况 2： $k\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ 或 $k\equiv 0(\mathrm{mod}3)$（完整覆盖 2 个块） 在这两种情况下，9 个连续项必然会完整包裹中间的 2 个块。

以 $k\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ 为例，设 $k=3m-1$（$m\in {\mathbf{N}}^{\ast }$），这 9 项为 $a_{3m-1}$ 到 $a_{3m+7}$：

• 第 $m$ 块包含：$a_{3m-2}$（不在等比数列中）, $a_{3m-1},a_{3m}$（在等比数列中） 第 $m+1$ 块（完全包含）：$a_{3m+1},a_{3m+2},a_{3m+3}$，对应等比数列的 $b{q}^2,b{q}^3,b{q}^4$。 第 $m+2$ 块（完全包含）：$a_{3m+4},a_{3m+5},a_{3m+6}$，对应等比数列的 $b{q}^5,b{q}^6,b{q}^7$。
• 第 $m+3$ 块包含：$a_{3m+7}$（在等比数列中）, $a_{3m+8},a_{3m+9}$（不在等比数列中） 因为其余不完全在等比数列中的项可以任意取值来凑满它们所在块的和，所以我们只需要保证完全包含的两个块满足条件即可：

1. 第 $m+1$ 块之和：$b{q}^2(1+q+q^2)=2(m+1)$
2. 第 $m+2$ 块之和：$b{q}^5(1+q+q^2)=2(m+2)$

两式相除，消去相同部分得到： $q^3=\frac{2(m+2)}{2(m+1)}=\frac{m+2}{m+1}=1+\frac{1}{m+1}$ (三)、求 $q$ 的最大值

为了让实数 $q$ 最大，我们需要让 $q^3$ 最大。根据表达式： $q^3=1+\frac{1}{m+1}$

由于 $m\in {\mathbf{N}}^{\ast }$（即 $m\ge 1$），为了让上式最大，分母 $m+1$ 应该尽可能小，因此取最小的 $m=1$。 此时： $q^3=1+\frac{1}{1+1}=\frac{3}{2}⟹q=\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$

(四)、取等条件与数列构造验证

我们需要验证当 $q=\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$ 且 $m=1,k=2$ 时，是否存在一个数列 $\{a_n\}$ 满足所有条件。

当 $k=2$ 时，等比数列的 9 项为 $a_2$ 到 $a_{10}$。由上文公式，完全包裹的第 2 块和第 3 块方程为：

• $a_4+a_5+a_6=b{q}^2(1+q+q^2)=4$
• $a_7+a_8+a_9=b{q}^5(1+q+q^2)=6$ 将 $q^3=\frac{3}{2}$ 代入，解得首项： $b=\frac{4}{q^2(1+q+q^2)}$

接下来，我们构造出完整的数列 $\{a_n\}$：

1. 第 1 块（要求 $a_1+a_2+a_3=2$）：已知 $a_2=b,a_3=bq$，令 $a_1=2-b(1+q)$。
2. 第 2、3 块：由等比数列完美满足，无需调整。
3. 第 4 块（要求 $a_{10}+a_{11}+a_{12}=8$）：已知 $a_{10}=b{q}^8$，令 $a_{11}=8-b{q}^8,a_{12}=0$。
4. 对于后续所有块（$n\ge 5$）：直接令 $a_{3n-2}=2n,a_{3n-1}=0,a_{3n}=0$。

至此，构造出的数列为： $\{a_n\}=(2-b(1+b),b,bq,b{q}^2,\cdots ,b{q}^8,8-b{q}^8,0,10,0,0,12,0,0,\cdots )$ 该数列完全符合题意，取等条件成立。

答案 $\sqrt[3]{\frac{3}{2}}\text{或}\frac{\sqrt[3]{12}}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：前 $n$ 项和公式的差分局部化；局部等比数列与局部等差块和的刚性结构冲突与错位解耦。
2. 核心方法：错位构造法、相邻特征比值放缩法。
3. 避坑指南：

• 整齐对齐的思维定势陷阱：约有八成学生在做此题时，会本能地认为这 9 项应该刚好对齐前三块 $a_1\sim a_9$，从而直接解出 $q^3=\frac{4}{2}=2,q^3=\frac{6}{4}=1.5$ 这种相互矛盾的方程，误认为题目出错。必须要树立离散数学中的“错位重叠”意识，利用边界项不占满整个块的自由度，去逼近极值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题为 2026 年新高考 Ⅰ 卷填空压轴题（第 14 题），属于高难度的渐进构造与最值估计题，考查学生在离散约束下的数理逻辑推演功底。
2. 结论推广： 对于所有推广型命题：已知 $S_{m\cdot n}=f(n)$，且序列中存在连续的 $2m+1$ 项构成公比为 $q$ 的等比数列。 其通用的最大公比求解策略为寻找相邻联合块的最大绝对斜率比。 大块通项为 $A_n=f(n)-f(n-1)$。若等比数列连续项足以吞没两个完整的相邻大块 $A_n$ 与 $A_{n+1}$，则其公比的幂次项恒被锁定为两块之比： $q^m=\frac{A_{n+1}}{A_n}$ 为了让 $q$ 最大，需在 $A_n$ 均合法的边界内，求出该分式比值的最大值。由于本题中 $m=3$，最大比值在最前端 $n=2$ 处取得，即 $q^3=\frac{A_3}{A_2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，直接开三次方即可秒杀。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1993-新高考理-25
• 2008-江苏卷-19 解-数列删项等比
• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比