2007-天津卷理-20 解-函数极值

本题导读

本题主要考查导数的几何意义以及利用导数工具分析函数单调性与极值的方法。第一问通过定值代入考查切线方程的常规求法；第二问通过对参数 $a$ 的正负进行分类讨论，考查导函数因式分解、符号判定及极值点确定的综合代数推理能力。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(理)） 已知函数 $f(x)=\frac{2ax-a^2+1}{x^2+1}$ ($x\in \mathbf{R}$)，其中 $a\in \mathbf{R}$。

(1) 当 $a=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(2,f(2))$ 处的切线方程；

(2) 当 $a\ne 0$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间与极值。

🔍【思路分析】

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1. 对于(1)，将 $a=1$ 代入原函数，求出切点坐标 $(2,f(2))$；对函数求导并求出 $f^{\prime }(2)$ 作为切线斜率，最后由点斜式写出切线方程；
2. 对于(2)，求出含有参数 $a$ 的导函数 $f^{\prime }(x)$，并对分子进行因式分解找出零点 $a$ 与 $-\frac{1}{a}$；由于 $a\ne 0$，需比较两个零点的大小，从而分 $a>0$ 和 $a<0$ 两种情况讨论导数符号，进而写出单调区间和极值。

✅【答案】

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（1）当𝑎=1时，𝑓(𝑥)=2𝑥𝑥2+1，所以𝑓(2)=45，且

✍【详细解析】

Abstract

解： (1) 当 $a=1$ 时， $f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$。 将 $x=2$ 代入得切点纵坐标 $f(2)=\frac{2\times 2}{2^2+1}=\frac{4}{5}$。 对 $f(x)$ 求导得： $f^{\prime }(x)=\frac{2(x^2+1)-2x\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{2-2x^2}{(x^2+1{)}^2}$ 则切线斜率 $k=f^{\prime }(2)=\frac{2-2\times 2^2}{(2^2+1{)}^2}=-\frac{6}{25}$。 所以，曲线在点 $(2,f(2))$ 处的切线方程为： $y-\frac{4}{5}=-\frac{6}{25}(x-2)$ 化简为一般式得： $6x+25y-32=0$。

(2) 当 $a\ne 0$ 时，对原函数求导得： $f^{\prime }(x)=\frac{2a(x^2+1)-(2ax-a^2+1)\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}$ $=\frac{2a{x}^2+2a-4a{x}^2+2a^{2}x-2x}{(x^2+1{)}^2}$ $=\frac{-2a{x}^2+2(a^2-1)x+2a}{(x^2+1{)}^2}=\frac{-2(ax+1)(x-a)}{(x^2+1{)}^2}$ 令 $f^{\prime }(x)=0$，解得两个根为 $x_1=a$，$x_2=-\frac{1}{a}$。

下面分两种情况讨论： 情况一：当 $a>0$ 时 此时 $-\frac{1}{a}<0<a$，即 $-\frac{1}{a}<a$。

• 当 $x\in \left(-\infty ,-\frac{1}{a}\right)$ 时， $f^{\prime }(x)<0$，函数 $f(x)$ 单调递减；
• 当 $x\in \left(-\frac{1}{a},a\right)$ 时， $f^{\prime }(x)>0$，函数 $f(x)$ 单调递增；
• 当 $x\in (a,+\infty )$ 时， $f^{\prime }(x)<0$，函数 $f(x)$ 单调递减。 此时，当 $x=-\frac{1}{a}$ 时，函数取得极小值： $f\left(-\frac{1}{a}\right)=\frac{2a\left(-\frac{1}{a}\right)-a^2+1}{{\left(-\frac{1}{a}\right)}^2+1}=\frac{-a^2-1}{\frac{a^2+1}{a^2}}=-a^2$ 当 $x=a$ 时，函数取得极大值： $f(a)=\frac{2a^2-a^2+1}{a^2+1}=1$

情况二：当 $a<0$ 时 此时 $a<0<-\frac{1}{a}$空间，即 $a<-\frac{1}{a}$。

• 当 $x\in (-\infty ,a)$ 时， $f^{\prime }(x)>0$，函数 $f(x)$ 单调递增；
• 当 $x\in \left(a,-\frac{1}{a}\right)$ 时， $f^{\prime }(x)<0$，函数 $f(x)$ 单调递减；
• 当 $x\in \left(-\frac{1}{a},+\infty \right)$ 时， $f^{\prime }(x)>0$，函数 $f(x)$ 单调递增。 此时，当 $x=a$ 时，函数取得极大值 $f(a)=1$； 当 $x=-\frac{1}{a}$ 时，函数取得极小值 $f\left(-\frac{1}{a}\right)=-a^2$。

结果归纳：

• 当 $a>0$ 时，单调递减区间为 $\left(-\infty ,-\frac{1}{a}\right)$ 和 $(a,+\infty )$，单调递增区间为 $\left(-\frac{1}{a},a\right)$；极大值为 $1$，极小值为 $-a^2$。
• 当 $a<0$ 时，单调递增区间为 $(-\infty ,a)$ 和 $\left(-\frac{1}{a},+\infty \right)$，单调递减区间为 $\left(a,-\frac{1}{a}\right)$；极大值为 $1$，极小值为 $-a^2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：商的求导法则、含参导函数零点大小比较、利用导数正负判断增减性。
2. 核心方法：分类讨论法。通过参数 $a$ 的正负号决定两根的相对大小及二次项系数方向。
3. 避坑指南：

• 极易在第(2)问求导时由于多项式项数较多而发生符号漏算。
• 找出零点 $a$ 与 $-\frac{1}{a}$ 后，切勿盲目直接写区间，必须依据 $a$ 的符号判断谁大谁小。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的微积分基础理论应用题，考查一阶导数对曲线形态（切线、单调性、极值）的控制。
2. 结论推广：对于形如 $f(x)=\frac{px+q}{x^2+1}$ 的分式函数（有理函数），其定义域为 $\mathbf{R}$ 且在无穷远点趋于 0，其导函数分子的判别式直接决定了函数在实数域内是否存在极大值与极小值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-20 解-相互独立事件
• 2018-全国卷II理-20 解-线面垂直