2009-上海卷理-01 填-复数

本题导读

本题考查复数的除法运算、共轭复数的概念，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(理)） 若复数 $z$ 满足 $z(1+\text{i})=1-\text{i}$（$\text{i}$ 是虚数单位），则其共轭复数 $\bar{z}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用复数除法性质，将已知等式变形为 $z=\frac{1-\text{i}}{1+\text{i}}$ 并进行分母实数化化简。

2. 根据共轭复数实部相同、虚部互为相反数的定义，写出 $\bar{z}$。

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$\text{i}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $z(1+\text{i})=1-\text{i}$，解得： $z=\frac{1-\text{i}}{1+\text{i}}=\frac{(1-\text{i}{)}^2}{(1+\text{i})(1-\text{i})}=\frac{-2\text{i}}{2}=-\text{i}$ 根据共轭复数的定义，若 $z=-\text{i}$，则其共轭复数虚部变号， 即 $\bar{z}=\text{i}$。 故填 $\text{i}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：虚数单位 $\text{i}$ 的平方性质（${\text{i}}^2=-1$）以及共轭复数的概念。

2. 核心方法：分子分母同乘分母的共轭复数以实现分母实数化。

3. 避坑指南：容易混淆 $\frac{1-\text{i}}{1+\text{i}}=-\text{i}$ 的结果符号；切记题目要求的是共轭复数 $\bar{z}$，而不是 $z$ 本身，防止功亏一篑。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是高考复数考查的经典基础填空题，源自教材中复数代数运算与共轭定义的直接应用。

2. 结论推广: 常记复数特殊结论：$\frac{1-\text{i}}{1+\text{i}}=-\text{i}$，$\frac{1+\text{i}}{1-\text{i}}=\text{i}$，熟记这两个结论可以大幅提升解答填空题的速度。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-19 解-复数运算
• 2011-上海卷理-19 解-复数
• 2011-北京卷文-02 单-复数除法运算