2009-北京卷文-12 填-分段函数方程

本题导读

考查分段函数。$x⩽1$ 段 $3^x=2$ 得 $x={\log }_{3}2$；$x>1$ 段 $-x=2$ 得 $x=-2$ 不满足，舍。

📌【题干】

Question

（2009年北京卷(文)） 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{3}^x,& x⩽1,\\ -x,& x>1.\end{array}$ 若 $f(x)=2$，则 $x=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $x⩽1$：$3^x=2\Rightarrow x={\log }_{3}2<1$，满足。
2. $x>1$：$-x=2\Rightarrow x=-2$，不满足 $x>1$，舍。

✅【答案】

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${\log }_{3}2$

✍【详细解析】

Abstract

当 $x⩽1$ 时，$3^x=2$，解得 $x={\log }_{3}2$。由 $2<3$ 知 ${\log }_{3}2<1$，满足条件。 当 $x>1$ 时，$-x=2$，解得 $x=-2$，不满足 $x>1$，舍去。 故 $x={\log }_{3}2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数求值

核心方法：逐段解方程 + 定义域检验

避坑指南：$x>1$ 段解出 $x=-2$ 不在段内必须舍去；分段函数分段解、段内验根是完整步骤。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分段函数方程是函数模块常考小题。

结论推广：每段独立解 $f(x)=2$，再检验解是否落在该段定义域内。

方法推广：指数方程 $3^x=2$ 的解用对数表示 $x={\log }_{3}2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2011-福建卷文-08 单-分段函数方程
• 2011-北京卷文-13 填-分段函数两根
• 2013-北京卷文-13 填-分段函数值域