2009-大纲卷II理-10 单-排列组合

本题导读

本题考查排列组合的实际应用计数问题，重点在于通过“正难则反”的间接法简化“至少”类问题的运算量。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(理)） 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门, 则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有 ()

A. 6 种　　　　　B. 12 种　　　　　C. 30 种　　　　　D. 36 种

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算出甲、乙两人任意选修课程的总选法数。

2. 找出“至少有 1 门不相同”的对立事件，即“两人所选课程完全相同”。

3. 用总选法数减去完全相同的选法数，即可得到符合题意的结果。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

首先，甲从 4 门课程中选 2 门有 ${\text{C}}_4^2=6$ 种选法，乙从 4 门课程中选 2 门也有 ${\text{C}}_4^2=6$ 种选法。 根据分步乘法计数原理，甲、乙两人选课的总选法共有：$6\times 6=36$ 种。 “至少有 1 门不相同”的对立事件是“两人所选的课程完全相同”。 当两人选课完全相同时，甲选定 2 门后（有 6 种情况），乙必须选择与甲完全相同的课程（有 1 种情况），故完全相同的选法共有：$6\times 1=6$ 种。 因此，至少有 1 门不相同的选法共有：$36-6=30$ 种。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：组合数公式的应用以及对立事件的计数思想。

2. 核心方法：间接法（总数 - 否定数）。

3. 避坑指南：避免直接分类讨论（如 1 门不同、2 门不同），直接法容易在计算时重复或遗漏，且耗时较长。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于经典的独立重复选择模型的变形题，是概率与统计、排列组合板块的常考基础题。

2. 结论推广：若 $n$ 个人从 $m$ 个名额中各选 $k$ 个，全不相同的对立面为完全相同，其对应基础计数模型通用表达式为 $({\text{C}}_m^k{)}^n-{\text{C}}_m^k$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷理-08 单-排列组合
• 2012-辽宁卷理-05 单-排列组合
• 2013-北京卷理-12 填-排列组合应用