2009-天津卷文-04 单-双曲线渐近线

本题导读

考查双曲线基本量。$2b=2$、$2c=2\sqrt{3}$ 得 $b=1$、$c=\sqrt{3}$，$a^2=2$，渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(文)） 设双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的虚轴长为 $2$，焦距为 $2\sqrt{3}$，则双曲线的渐近线方程为 ()

A. $y=\pm \sqrt{2}x$　　　　　B. $y=\pm 2x$　　　　　C. $y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x$　　　　　D. $y=\pm \frac{1}{2}x$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 虚轴长 $2b=2\Rightarrow b=1$；焦距 $2c=2\sqrt{3}\Rightarrow c=\sqrt{3}$。
2. $a^2=c^2-b^2=2$，$a=\sqrt{2}$。
3. 渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由虚轴长 $2b=2$ 得 $b=1$；由焦距 $2c=2\sqrt{3}$ 得 $c=\sqrt{3}$。 故 $a^2=c^2-b^2=3-1=2$，$a=\sqrt{2}$。 双曲线的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的基本量与渐近线

核心方法：由虚轴与焦距定 $a$、$b$ 写渐近线

避坑指南：虚轴长是 $2b$ 不是 $b$：$2b=2$ 给 $b=1$；渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$，别写成 $\frac{a}{b}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线基本量运算是圆锥曲线基础题。

结论推广：$c^2=a^2+b^2$（双曲线）；渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$。

方法推广：先列 $2b$、$2c$ 的方程解出 $b$、$c$，再由 $a^2=c^2-b^2$ 收尾。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2011-天津卷文-06 单-双曲线渐近线与抛物线焦点
• 2009-大纲卷I文-05 单-双曲线渐近线离心率
• 2011-北京卷文-10 填-双曲线渐近线