2009-天津卷文-22 解-椭圆平行比例与外接圆

本题导读

椭圆压轴。(1) $|E{F}_2|:|E{F}_1|=1:2$ 得 $a^2=3c^2$，$e=\frac{\sqrt{3}}{3}$；(2) $B$ 为 $AE$ 中点，解得 $k=\pm \frac{\sqrt{2}}{3}$；(3) 圆心 $\left(\frac{c}{2},0\right)$，$\frac{n}{m}=\frac{2\sqrt{2}}{5}$。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(文)） 已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的两个焦点分别为 $F_1(-c,0)$ 和 $F_2(c,0)$（$c>0$），过点 $E\left(\frac{a^2}{c},0\right)$ 的直线与椭圆相交于 $A$，$B$ 两点，且 $\overrightarrow{F_{1}A}\parallel \overrightarrow{F_{2}B}$，$|F_{1}A|=2|F_{2}B|$.

(1)求椭圆的离心率；

(2)求直线 $AB$ 的斜率；

(3)设点 $C$ 与点 $A$ 关于坐标原点对称，直线 $F_{2}B$ 上有一点 $H(m,n)$（$m\ne 0$）在 $△A{F}_{1}C$ 的外接圆上，求 $\frac{n}{m}$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) $\frac{|E{F}_2|}{|E{F}_1|}=\frac{|F_{2}B|}{|F_{1}A|}=\frac{1}{2}$，即 $\frac{\frac{a^2}{c}-c}{\frac{a^2}{c}+c}=\frac{1}{2}\Rightarrow a^2=3c^2$，$e=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
2. (2) 椭圆 $2x^2+3y^2=6c^2$；$B$ 为 $AE$ 中点，$x_1+3c=2x_2$，联立韦达定理解得 $k=\pm \frac{\sqrt{2}}{3}$。
3. (3) $k=\frac{\sqrt{2}}{3}$ 时 $A(0,\sqrt{2}c)$、$C(0,-\sqrt{2}c)$，外接圆圆心 $\left(\frac{c}{2},0\right)$，方程 ${\left(x-\frac{c}{2}\right)}^2+y^2=\frac{9c^2}{4}$；与直线 $F_{2}B$（$y=\sqrt{2}(x-c)$）联立得 $m=\frac{5c}{3}$、$n=\frac{2\sqrt{2}c}{3}$，$\frac{n}{m}=\frac{2\sqrt{2}}{5}$。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $e=\frac{\sqrt{3}}{3}$；(2)$k=\pm \frac{\sqrt{2}}{3}$；(3)$\frac{n}{m}=\frac{2\sqrt{2}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 由 $\overrightarrow{F_{1}A}\parallel \overrightarrow{F_{2}B}$ 且 $|F_{1}A|=2|F_{2}B|$，得 $|E{F}_2|:|E{F}_1|=|F_{2}B|:|F_{1}A|=1:2$。 而 $|E{F}_2|=\frac{a^2}{c}-c$，$|E{F}_1|=\frac{a^2}{c}+c$，故 $\frac{\frac{a^2}{c}-c}{\frac{a^2}{c}+c}=\frac{1}{2}⟹2\left(\frac{a^2}{c}-c\right)=\frac{a^2}{c}+c⟹a^2=3c^2.$ 故离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

（2） 由（1）知 $b^2=a^2-c^2=2c^2$，椭圆方程可写为 $2x^2+3y^2=6c^2$。设直线 $AB$：$y=k(x-3c)$，代入椭圆： $(2+3k^2)x^2-18k^{2}cx+27k^2{c}^2-6c^2=0,$ 由 $\Delta =48c^2(1-3k^2)>0$ 知 $k^2<\frac{1}{3}$。 设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则 $x_1+x_2=\frac{18k^{2}c}{2+3k^2}$，$x_1{x}_2=\frac{27k^2{c}^2-6c^2}{2+3k^2}$。 由题设 $\overrightarrow{F_{2}B}=\frac{1}{2}\overrightarrow{F_{1}A}$ 知 $B$ 是线段 $AE$ 的中点，即 $x_1+3c=2x_2$。 代入 $x_1+x_2$ 得 $x_2=\frac{c(2+9k^2)}{2+3k^2}$，$x_1=\frac{c(9k^2-2)}{2+3k^2}$；代入 $x_1{x}_2$ 得 $(9k^2-2)(2+9k^2)=(27k^2-6)(2+3k^2)⟹36k^2=8⟹k^2=\frac{2}{9},$ 满足 $k^2<\frac{1}{3}$，故 $k=\pm \frac{\sqrt{2}}{3}$。

（3） 取 $k=\frac{\sqrt{2}}{3}$，由（2）得 $A(0,\sqrt{2}c)$，$C$ 与 $A$ 关于原点对称，$C(0,-\sqrt{2}c)$。 $F_1(-c,0)$，$△A{F}_{1}C$ 的外接圆圆心在 $A{F}_1$ 的垂直平分线上；由 $A$、$C$ 关于 $x$ 轴对称，圆心在 $x$ 轴上，设为 $(h,0)$：$h^2+2c^2=(h+c{)}^2$，得 $h=\frac{c}{2}$，外接圆方程为 ${\left(x-\frac{c}{2}\right)}^2+y^2=\frac{9c^2}{4}.$ 直线 $F_{2}B$：$B$ 为 $AE$ 中点，$B\left(\frac{3c}{2},\frac{\sqrt{2}c}{2}\right)$，故其方程为 $y=\sqrt{2}(x-c)$。 代入圆方程：${\left(m-\frac{c}{2}\right)}^2+2(m-c{)}^2=\frac{9c^2}{4}$，展开得 $3m^2-5cm=0$，由 $m\ne 0$ 得 $m=\frac{5c}{3}$，$n=\sqrt{2}\left(\frac{5c}{3}-c\right)=\frac{2\sqrt{2}c}{3}$。 故 $\frac{n}{m}=\frac{2\sqrt{2}}{5}$；当 $k=-\frac{\sqrt{2}}{3}$ 时同理可得 $\frac{n}{m}=\frac{2\sqrt{2}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的离心率、直线与椭圆、外接圆

核心方法：平行比例定离心率 + 中点关系解斜率 + 垂直平分线定外接圆

避坑指南：(2) 的判别式条件 $k^2<\frac{1}{3}$ 是硬约束，$k^2=\frac{1}{2}$ 的解必错；(3) 中 $A$、$C$ 关于 $x$ 轴对称给出圆心在 $x$ 轴上，$h=\frac{c}{2}$ 一步解出。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平行比例 + 中点 + 外接圆是椭圆压轴的三段式结构。

结论推广：$|E{F}_2|:|E{F}_1|=|F_{2}B|:|F_{1}A|$ 把平行与长度比一次性转化为准线距离之比。

方法推广：$B$ 为 $AE$ 中点（由 $\overrightarrow{F_{2}B}=\frac{1}{2}\overrightarrow{F_{1}A}$ 与三点共线）配合韦达定理，是解斜率的干净路径。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷文-19 解-椭圆等腰三角形面积
• 2011-四川卷文-21 解-椭圆弦长与定值
• 2011-大纲卷文-22 解-椭圆与四点共圆