2009-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形

本题导读

考查解三角形。$\cos 2A=\frac{1}{3}$ 得 $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{3}$；$\frac{b}{\sin B}=3\sqrt{6}$，$c=6$，面积 $3\sqrt{2}$。

📌【题干】

Question

（2009年安徽卷(文)） 在 $△ABC$ 中，$C-A=\frac{\pi }{2}$，$\sin B=\frac{1}{3}$.

(1) 求 $\sin A$ 的值；

(2) 设 $AC=\sqrt{6}$，求 $△ABC$ 的面积.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $B=\pi -A-C=\frac{\pi }{2}-2A$（$0<A<\frac{\pi }{4}$），$\sin B=\cos 2A=1-2{\sin }^{2}A=\frac{1}{3}$。
2. 解得 $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
3. $\frac{b}{\sin B}=\frac{\sqrt{6}}{1/3}=3\sqrt{6}$，$\sin C=\cos A=\frac{\sqrt{6}}{3}$，$c=6$。
4. $S=\frac{1}{2}AC\cdot AB\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{6}\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{2}$。

✅【答案】

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(1) $\frac{\sqrt{3}}{3}$；(2) $3\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由三角形内角和以及 $C-A=\frac{\pi }{2}$，得 $B=\pi -A-C=\frac{\pi }{2}-2A$。 因为 $A>0$，$B>0$，所以 $0<A<\frac{\pi }{4}$。于是 $\sin B=\sin \left(\frac{\pi }{2}-2A\right)=\cos 2A=1-2{\sin }^{2}A=\frac{1}{3}$。 故 ${\sin }^{2}A=\frac{1}{3}$。又 $A$ 为三角形内角，$\sin A>0$，所以 $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{3}$。 (2) 设 $a=BC$，$b=CA=\sqrt{6}$，$c=AB$。由正弦定理，$\frac{b}{\sin B}=\frac{\sqrt{6}}{1/3}=3\sqrt{6}$。 又 $\sin C=\sin \left(A+\frac{\pi }{2}\right)=\cos A=\sqrt{1-{\sin }^{2}A}=\frac{\sqrt{6}}{3}$， 所以 $c=3\sqrt{6}\times \frac{\sqrt{6}}{3}=6$。 因此 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot AB\cdot \sin A=\frac{1}{2}\times \sqrt{6}\times 6\times \frac{\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：解三角形与二倍角、正弦定理

核心方法：内角和转化 + 升幂求 $\sin A$

避坑指南：$B=\frac{\pi }{2}-2A$ 的前提是 $0<A<\frac{\pi }{4}$（保证 $B>0$）；$\cos 2A=1-2{\sin }^{2}A$ 解出 $\sin A$ 后，$c$ 由 $\frac{b}{\sin B}$ 一次求出。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：角之间的关系先用内角和化成单一角。

结论推广：$\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$，$\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos x$ 互化要熟。

方法推广：面积公式选择”两边夹角”形式 $S=\frac{1}{2}AC\cdot AB\cdot \sin A$ 最直接。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-17 解-正余弦定理二倍角
• 2009-浙江卷文-18 解-解三角形与向量
• 2009-大纲卷II文-18 解-解三角形求角