2009-安徽卷文-18 解-椭圆与抛物线轨迹

本题导读

考查椭圆与轨迹。$b=\sqrt{2}$，$e^2=\frac{1}{3}$ 给 $a=\sqrt{3}$；$M$ 满足 $(x-1{)}^2=(x+1{)}^2+t^2$，即 $y^2=-4x$，开口向左的抛物线。

📌【题干】

Question

（2009年安徽卷(文)） 已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线 $y=x+2$ 相切.

(1) 求 $a$ 与 $b$；

(2) 设该椭圆的左、右焦点分别为 $F_1$ 和 $F_2$，直线 $l_1$ 过 $F_2$ 且与 $x$ 轴垂直，动直线 $l_2$ 与 $y$ 轴垂直，交 $l_1$ 于点 $P$.求线段 $P{F}_1$ 的垂直平分线与 $l_2$ 的交点 $M$ 的轨迹方程，并指明曲线类型.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆半径 $b$ 到直线 $x-y+2=0$ 的距离 $\sqrt{2}$，故 $b=\sqrt{2}$。
2. $\frac{c^2}{a^2}=\frac{1}{3}$，即 $\frac{b^2}{a^2}=\frac{2}{3}$，$a^2=3$，$a=\sqrt{3}$。
3. $c=1$，$F_1(-1,0)$，$F_2(1,0)$。设 $l_2:y=t$，$P=(1,t)$，$M=(x,t)$。
4. $MP=M{F}_1$：$(x-1{)}^2=(x+1{)}^2+t^2$，化简 $x=-\frac{t^2}{4}$，消参得 $y^2=-4x$。

✅【答案】

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(1) $a=\sqrt{3}$，$b=\sqrt{2}$；(2) $y^2=-4x$，顶点在原点、开口向左的抛物线

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由题意，圆的半径为 $b$。直线 $y=x+2$ 化为 $x-y+2=0$，原点到该直线的距离为 $\frac{2}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\sqrt{2}$。 因为圆与直线相切，所以 $b=\sqrt{2}$。设椭圆的半焦距为 $c$，则 $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$c^2=a^2-b^2$。 于是 $\frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{1}{3}$，即 $\frac{b^2}{a^2}=\frac{2}{3}$。代入 $b^2=2$，得 $a^2=3$，所以 $a=\sqrt{3}$，$b=\sqrt{2}$。 (2) 由 (1) 知 $c=\sqrt{a^2-b^2}=1$，故 $F_1(-1,0)$，$F_2(1,0)$。直线 $l_1$ 的方程为 $x=1$。设动直线 $l_2$ 为 $y=t$，则 $P=(1,t)$。 设交点 $M=(x,t)$。因为 $M$ 在 $P{F}_1$ 的垂直平分线上，所以 $MP=M{F}_1$，从而 $(x-1{)}^2=(x+1{)}^2+t^2$。 化简得 $-4x=t^2$，即 $x=-\frac{t^2}{4}$。又 $M$ 的坐标满足 $y=t$，消去参数 $t$，得到 $y^2=-4x$。 因此 $M$ 的轨迹是顶点在原点、开口向左、焦点在 $x$ 轴上的抛物线。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的基本量与抛物线轨迹

核心方法：相切定 $b$ + 离心率定 $a$；垂直平分线条件消参

避坑指南：$MP=M{F}_1$ 是垂直平分线的代数化：平方向程展开后 $x^2$ 消掉，直接线性化 $x=-\frac{t^2}{4}$，再以 $t=y$ 消参。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆与直线相切用”圆心到直线距离等于半径”。

结论推广：轨迹题三步：设点、列几何条件的坐标式、消参。

方法推广：抛物线 $y^2=\pm 4x$ 的开口方向由符号定：$y^2=-4x$ 开口向左。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-17 单-中点轨迹方程
• 2009-浙江卷文-22 解-抛物线切线
• 2009-大纲卷I文-22 解-抛物线与圆最值