2009-山东卷文-19 解-分层抽样与概率

本题导读

考查抽样与概型。$z=400$；样本含舒适型 $2$ 辆、标准型 $3$ 辆，$P=1-\frac{{\mathrm{C}}_3^2}{{\mathrm{C}}_5^2}=\frac{7}{10}$；均值 $9$，$|x-9|⩽0.5$ 者共 $6$ 个，$P=\frac{3}{4}$。

📌【题干】

Question

（2009年山东卷(文)） 一汽车厂生产 $A$，$B$，$C$ 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：

	轿车 $A$	轿车 $B$	轿车 $C$
舒适型	$100$	$150$	$z$
标准型	$300$	$450$	$600$

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 $50$ 辆，其中有 $A$ 类轿车 $10$ 辆.

(1)求 $z$ 的值；

(2)用分层抽样的方法在 $C$ 类轿车中抽取一个容量为 $5$ 的样本.将该样本看成一个总体，从中任取 $2$ 辆，求至少有 $1$ 辆舒适型轿车的概率；

(3)用随机抽样的方法从 $B$ 类舒适型轿车中抽取 $8$ 辆，经检测它们的得分如下：$9.4$，$8.6$，$9.2$，$9.6$，$8.7$，$9.3$，$9.0$，$8.2$.把这 $8$ 辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 $0.5$ 的概率.

🔍【思路分析】

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1. (1) $A$ 类共 $400$ 辆，总产量 $1600+z$，由 $\frac{400}{1600+z}=\frac{10}{50}=\frac{1}{5}$ 得 $z=400$。
2. (2) $C$ 类 $1000$ 辆中舒适型 $400$、标准型 $600$，按比例抽 $5$ 辆：舒适型 $2$、标准型 $3$。
3. 任取 $2$ 辆全为标准型的概率 $\frac{{\mathrm{C}}_3^2}{{\mathrm{C}}_5^2}=\frac{3}{10}$，至少 $1$ 辆舒适型 $P=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}$。
4. (3) 总分 $72$，均值 $\bar{x}=9$；$|x-9|⩽0.5$ 即 $x\in [8.5,9.5]$，命中 $8.6$，$8.7$，$9.0$，$9.2$，$9.3$，$9.4$ 共 $6$ 个，$P=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$。

✅【答案】

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(1) $z=400$；(2)$\frac{7}{10}$；(3)$\frac{3}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$A$ 类轿车共 $100+300=400$ 辆，$B$ 类共 $150+450=600$ 辆，全部轿车共 $1600+z$ 辆。 由分层抽样比例相同，$\frac{400}{1600+z}=\frac{10}{50}=\frac{1}{5}$，解得 $z=400$。 （2）$C$ 类轿车共 $400+600=1000$ 辆，其中舒适型 $400$ 辆、标准型 $600$ 辆。 按比例抽取容量为 $5$ 的样本，其中舒适型 $5\times \frac{400}{1000}=2$ 辆，标准型 $3$ 辆。 从 $5$ 辆中任取 $2$ 辆，共有 ${\mathrm{C}}_5^2=10$ 种取法，全为标准型的取法有 ${\mathrm{C}}_3^2=3$ 种。 故至少有 $1$ 辆舒适型轿车的概率 $P=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}$。 （3）$8$ 辆轿车得分总和为 $9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2=72$，样本平均数 $\bar{x}=\frac{72}{8}=9$。 $|x-\bar{x}|⩽0.5$ 即 $x\in [8.5,9.5]$，符合条件的得分有 $8.6$，$8.7$，$9.0$，$9.2$，$9.3$，$9.4$，共 $6$ 个。 故所求概率为 $\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分层抽样与古典概型

核心方法：比例 $\frac{10}{50}$ 定各层；样本内组合计数；均值定区间

避坑指南：$\frac{400}{1600+z}=\frac{1}{5}\Rightarrow z=400$；$P=1-\frac{{\mathrm{C}}_3^2}{{\mathrm{C}}_5^2}=\frac{7}{10}$；$\bar{x}=9$，$[8.5,9.5]$ 内 $6$ 个数，$P=\frac{3}{4}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分层抽样抓住”同一比例”：样本占比等于各层占比。

结论推广：“至少有一个”用对立事件：$1-$ 全没有。

方法推广：得分数据离散，$|x-9|⩽0.5$ 的边界 $8.5$ 与 $9.5$ 都没有对应数据，直接数个数即可。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-20 解-分层抽样与概率
• 2009-天津卷文-18 解-分层抽样与古典概型
• 2009-新课标卷文-19 解-分层抽样与频率分布
• 2009-福建卷文-18 解-古典概型摸球