2009-广东卷文-13 填-圆的方程

本题导读

考查圆的方程。$r=\frac{5}{\sqrt{2}}$，$r^2=\frac{25}{2}$，方程 $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=\frac{25}{2}$。

📌【题干】

Question

（2009年广东卷(文)） 以点 $(2,-1)$ 为圆心且与直线 $x+y=6$ 相切的圆的方程是　　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆心 $P(2,-1)$ 到直线 $x+y-6=0$ 的距离 $r=\frac{|2+(-1)-6|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{5}{\sqrt{2}}$。
2. $r^2=\frac{25}{2}$。
3. 圆的方程 $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=\frac{25}{2}$。

✅【答案】

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$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=\frac{25}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

圆心为 $P(2,-1)$，圆心到直线 $x+y-6=0$ 的距离为 $r=\frac{|2+(-1)-6|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{5}{\sqrt{2}}$。 由于圆与该直线相切，半径就是这个距离，所以 $r^2=\frac{25}{2}$。 因此圆的方程为 ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=\frac{25}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的标准方程与点到直线距离

核心方法：$r=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

避坑指南：直线先化 $x+y-6=0$ 再代；$r=\frac{5}{\sqrt{2}}$，$r^2=\frac{25}{2}$，别忘平方。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：相切 $⟺$ 半径等于圆心到直线距离。

结论推广：标准方程写 $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=r^2$，$y+1$ 的符号最容易错。

方法推广：验算：圆心到直线的垂足在第三象限方向，$r\approx 3.54$ 合理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-15 填-圆的切线围三角形
• 2009-湖北卷文-14 填-圆的切点弦
• 2011-四川卷文-03 单-圆的一般方程
• 2012-重庆卷文-03 单-直线与圆的弦长