2009-新课标卷文-04 单-三角命题真假

本题导读

考查命题真假判断。逐个检验四个三角函数命题：注意 ${\sin }^2\frac{x}{2}+{\cos }^2\frac{x}{2}=1$ 恒为 $1$，且 $\sin x=\cos y$ 有无数组解，$x+y$ 不必为 $\frac{\pi }{2}$。

📌【题干】

Question

（2009年新课标卷(文)） 有四个关于三角函数的命题： $p_1$：$\exists x\in \mathbf{R}$，${\sin }^2\frac{x}{2}+{\cos }^2\frac{x}{2}=\frac{1}{2}$； $p_2$：$\exists x$，$y\in \mathbf{R}$，$\sin (x-y)=\sin x-\sin y$； $p_3$：$\forall x\in [0,\pi ]$，$\sqrt{\frac{1-\cos 2x}{2}}=\sin x$； $p_4$：$\sin x=\cos y\Rightarrow x+y=\frac{\pi }{2}$. 其中假命题的是 ()

A. $p_1$，$p_4$　　　　B. $p_2$，$p_4$　　　　C. $p_1$，$p_3$　　　　D. $p_2$，$p_3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $p_1$：同角平方关系恒等于 $1$，不可能为 $\frac{1}{2}$，假。
2. $p_2$：取 $y=0$ 即成立，真。
3. $p_3$：$\sqrt{\frac{1-\cos 2x}{2}}=\sqrt{{\sin }^{2}x}=|\sin x|$，在 $[0,\pi ]$ 上 $\sin x⩾0$，真。
4. $p_4$：找一组 $x$，$y$ 使 $\sin x=\cos y$ 但 $x+y\ne \frac{\pi }{2}$，即得反例。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$p_1$：由同角关系，${\sin }^2\frac{x}{2}+{\cos }^2\frac{x}{2}=1$ 对一切实数成立，不可能等于 $\frac{1}{2}$，故 $p_1$ 是假命题。 $p_2$：取 $y=0$，则 $\sin (x-0)=\sin x=\sin x-\sin 0$，故 $p_2$ 是真命题。 $p_3$：$\sqrt{\frac{1-\cos 2x}{2}}=\sqrt{{\sin }^{2}x}=|\sin x|$，当 $x\in [0,\pi ]$ 时 $\sin x⩾0$，故等于 $\sin x$，$p_3$ 是真命题。 $p_4$：取 $x=\frac{5\pi }{6}$，$y=\frac{\pi }{3}$，则 $\sin x=\frac{1}{2}=\cos y$，但 $x+y=\frac{7\pi }{6}\ne \frac{\pi }{2}$，故 $p_4$ 是假命题。 假命题为 $p_1$，$p_4$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：命题真假判断与三角函数基本关系

核心方法：公式验证 + 特值反例

避坑指南：存在量词命题找一个正例即可判真；全称量词命题找一个反例即可判假，方向别搞反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：命题真假与三角公式结合是全国卷常考组合。

结论推广：同角平方关系恒为 $1$；$\sqrt{{\sin }^{2}x}=|\sin x|$ 要讨论符号。

方法推广：涉及 $\sin x=\cos y$ 这类等式，先用诱导公式化同角再找反例。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷文-04 单-复合命题真假
• 2012-山东卷文-05 单-三角函数性质与复合命题
• 2011-辽宁卷文-04 单-存在命题的否定