2009-新课标卷文-11 单-三视图全面积

本题导读

考查三视图还原。由三视图知该棱锥底面为直角边为 $6$ 的等腰直角三角形，顶点在底面上的射影为斜边中点，高为 $4$；逐面求面积后相加。

📌【题干】

Question

（2009年新课标卷(文)） 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：${\mathrm{cm}}^2$）为 ()

A. $48+12\sqrt{2}$　　　　B. $48+24\sqrt{2}$　　　　C. $36+12\sqrt{2}$　　　　D. $36+24\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

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1. 还原几何体：底面为等腰直角三角形，直角边 $6$，斜边 $6\sqrt{2}$；顶点在底面上的射影为斜边中点，高 $PO=4$。
2. 底面积 $=\frac{1}{2}\times 6\times 6=18$。
3. 斜边侧面：顶点在斜边上的射影在斜边上，该面高即 $PO=4$，面积 $=\frac{1}{2}\times 6\sqrt{2}\times 4=12\sqrt{2}$。
4. 两直角边侧面：射影点到直角边距离为 $3$，斜高 $=\sqrt{4^2+3^2}=5$，面积各为 $\frac{1}{2}\times 6\times 5=15$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由三视图知，该棱锥的底面是直角边为 $6$ 的等腰直角三角形，斜边长 $6\sqrt{2}$；顶点 $P$ 在底面上的射影 $O$ 为斜边中点，且 $PO=4$。

• 底面积：$S_{\text{底}}=\frac{1}{2}\times 6\times 6=18$；
• 斜边所在侧面：$P$ 在该面上的高即 $PO=4$，故 $S_1=\frac{1}{2}\times 6\sqrt{2}\times 4=12\sqrt{2}$；
• 两条直角边所在侧面：$O$ 为斜边中点，$O$ 到直角边的距离为 $\frac{6}{2}=3$，斜高 $PD=\sqrt{4^2+3^2}=5$，每个面积 $S_2=\frac{1}{2}\times 6\times 5=15$，共 $30$。 故全面积为 $18+30+12\sqrt{2}=48+12\sqrt{2}$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三视图还原几何体

核心方法：还原直观图后逐面求面积

避坑指南：顶点在斜边中点上方时，各侧面高的来源不同：斜面高 = 棱锥高，另两面斜高 = $\sqrt{4^2+3^2}$，不能混用。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三视图求表面积/体积是全国卷高频题。

结论推广：先由三视图还原几何体并标出关键量（高、射影位置），再逐面计算。

方法推广：等腰直角三角形斜边中点到两直角边距离等于直角边的一半。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2011-安徽卷文-08 单-三视图四棱柱表面积
• 2011-北京卷文-05 单-三视图表面积
• 2012-新课标卷文-07 单-三视图体积