2009-江苏卷-13 填-椭圆离心率

本题导读

考查椭圆离心率。$M=\frac{T}{2}$ 在椭圆上，化简得 $e^2+10e-3=0$，$e=2\sqrt{7}-5$。

📌【题干】

Question

（2009年江苏卷） 如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$A_1$，$A_2$，$B_1$，$B_2$ 为椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的四个顶点，$F$ 为其右焦点.直线 $A_1{B}_2$ 与直线 $B_{1}F$ 相交于点 $T$，线段 $OT$ 与椭圆的交点 $M$ 恰为线段 $OT$ 的中点，则该椭圆的离心率为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 直线 $A_1{B}_2$：$y=\frac{b}{a}(x+a)$；直线 $B_{1}F$：$y=\frac{b}{c}(x-c)$。
2. 联立解得 $T\left(\frac{2ac}{a-c},\frac{b(a+c)}{a-c}\right)$，于是 $M=\frac{T}{2}$。
3. $M$ 代入椭圆方程，两边除以 $a^2$ 得 $e^2+10e-3=0$，$e=2\sqrt{7}-5$。

✅【答案】

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$2\sqrt{7}-5$

✍【详细解析】

Abstract

设椭圆半焦距为 $c$。$A_1(-a,0)$，$B_2(0,b)$，故直线 $A_1{B}_2$：$y=\frac{b}{a}(x+a)$；$B_1(0,-b)$，$F(c,0)$，故直线 $B_{1}F$：$y=\frac{b}{c}x-b$。 联立：$\frac{1}{a}(x+a)=\frac{1}{c}x-1$，即 $cx+ac=ax-ac$，$x_T=\frac{2ac}{a-c}$，$y_T=\frac{b}{a}(x_T+a)=\frac{b(a+c)}{a-c}$。 $M$ 为 $OT$ 中点，$M\left(\frac{ac}{a-c},\frac{b(a+c)}{2(a-c)}\right)$。代入椭圆方程： $\frac{c^2}{(a-c{)}^2}+\frac{(a+c{)}^2}{4(a-c{)}^2}=1$，即 $4c^2+(a+c{)}^2=4(a-c{)}^2$。 展开整理得 $c^2+10ac-3a^2=0$，两边除以 $a^2$：$e^2+10e-3=0$。 解得 $e=\frac{-10+\sqrt{112}}{2}=2\sqrt{7}-5$（负根舍去）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆离心率

核心方法：联立两直线求 $T$，中点代入椭圆方程

避坑指南：$M=\frac{T}{2}$ 的坐标别漏除 $2$；最后 $e^2+10e-3=0$ 取正根。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆顶点与焦点连线交点构造比例是江苏卷压轴填空。

结论推广：$A_1{B}_2$ 与 $B_{1}F$ 的交点 $T$ 用两条截线方程联立，$M$ 恰为中点给出约束。

方法推广：运算中 $a-c$ 与 $a+c$ 的位置极易写反；展开后按 $e$ 整理再解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-04 单-椭圆离心率
• 2012-四川卷文-15 填-椭圆离心率
• 2011-福建卷文-11 单-圆锥曲线离心率