2009-辽宁卷文-04 单-向量模与夹角

本题导读

考查向量模。$|\mathbf{a}+2\mathbf{b}{|}^2=|\mathbf{a}{|}^2+4\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+4|\mathbf{b}{|}^2=4+4+4=12$，模为 $2\sqrt{3}$。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(文)） 平面向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角为 $60^{\circ }$，$\mathbf{a}=(2,0)$，$|\mathbf{b}|=1$，则 $|\mathbf{a}+2\mathbf{b}|=$ ()

A. $\sqrt{3}$　　　　　　　B. $2\sqrt{3}$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $12$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $|\mathbf{a}|=2$，$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos 60^{\circ }=2\times 1\times \frac{1}{2}=1$。
2. $|\mathbf{a}+2\mathbf{b}{|}^2=4+4\times 1+4=12$，开方得 $2\sqrt{3}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

$|\mathbf{a}+2\mathbf{b}{|}^2=|\mathbf{a}{|}^2+4\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+4|\mathbf{b}{|}^2$。 其中 $|\mathbf{a}|=2$，$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=2\times 1\times \cos 60^{\circ }=1$，$|\mathbf{b}|=1$。 所以 $|\mathbf{a}+2\mathbf{b}{|}^2=4+4+4=12$，$|\mathbf{a}+2\mathbf{b}|=2\sqrt{3}$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面向量的数量积与模

核心方法：模平方展开 + 夹角公式

避坑指南：$|\mathbf{a}+2\mathbf{b}{|}^2$ 展开的中间项是 $4\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=4$（系数 $2$ 带平方），漏乘会得 $8$ 误选 $\sqrt{3}$ 或 $2\sqrt{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：模的平方展开是向量求模的通法。

结论推广：$|\mathbf{a}+t\mathbf{b}{|}^2=|\mathbf{a}{|}^2+2t\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+t^2|\mathbf{b}{|}^2$。

方法推广：最后一步开方取正：$12$ 的算术平方根是 $2\sqrt{3}$，选项里的 $12$ 是平方值陷阱。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-08 单-向量夹角
• 2011-安徽卷文-14 填-向量数量积夹角
• 2009-天津卷文-15 填-向量基底数量积