2009-陕西卷文-13 填-等差数列通项

本题导读

考查等差数列基本量。$a_1+5d=12$，$3a_1+3d=12$，解得 $a_1=2$，$d=2$，$a_n=2n$。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(文)） 设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $a_6=S_3=12$，则 $\{a_n\}$ 的通项 $a_n=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. $a_6=a_1+5d=12$。
2. $S_3=3a_1+3d=12$，即 $a_1+d=4$。
3. 相减得 $4d=8$，$d=2$，$a_1=2$，$a_n=2n$。

✅【答案】

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$a_n=2n$

✍【详细解析】

Abstract

设首项为 $a_1$，公差为 $d$。由题意， $a_1+5d=12,3a_1+3d=12.$ 由第二式得 $a_1+d=4$，与第一式相减得 $4d=8$，$d=2$，$a_1=2$。 所以 $a_n=2+(n-1)\times 2=2n$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列的基本量

核心方法：由 $a_6$ 与 $S_3$ 列二元方程组解 $a_1,d$

避坑指南：$S_3=3a_1+3d$ 不是 $3a_1+6d$；用中项表示 $S_3=3a_2$ 更快捷。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列两个自由度 $a_1,d$，需要两个独立条件确定。

结论推广：奇数项和的中项公式 $S_3=3a_2$、$S_5=5a_3$ 能大幅减少计算量。

方法推广：中项法优先、基本量法兜底，是等差数列小题的标准次序。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-13 填-等差数列
• 2009-安徽卷文-05 单-等差数列基本量
• 2009-大纲卷I文-14 填-等差数列中项
• 2009-新课标卷文-08 单-等差数列中项求和