2010-四川卷文-05 单-二次函数对称充要

本题导读

考查二次函数对称轴与充要条件。对称轴 $x=-\frac{m}{2}$，令其等于 $1$ 得 $m=-2$，选 A。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(文)） 函数 $f(x)=x^2+mx+1$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称的充要条件是()

A. $m=-2$　　　　　　B. $m=2$　　　　　　C. $m=-1$　　　　　　D. $m=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 二次函数 $f(x)=x^2+mx+1$ 的图象对称轴为 $x=-\frac{m}{2}$。
2. 图象关于直线 $x=1$ 对称 $⟺$ 对称轴恰为 $x=1$，即 $-\frac{m}{2}=1$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

二次函数 $f(x)=x^2+mx+1$ 的图象是开口向上的抛物线，对称轴为 $x=-\frac{m}{2}.$ 图象关于直线 $x=1$ 对称的充要条件是对称轴为 $x=1$，即 $-\frac{m}{2}=1$，解得 $m=-2$. 故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次函数的对称轴与充要条件

核心方法：对称轴 $x=-\frac{m}{2}=1⟺m=-2$

避坑指南：对称轴公式中 $m$ 带负号，$-\frac{m}{2}=1$ 别写成 $\frac{m}{2}=1$；“充要条件”意味着双向等价，本题由对称轴公式直接转化即可；开口方向与对称轴无关，别被 $x^2+1$ 项干扰。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二次函数对称轴与充要条件结合是四川卷的常见小题，本质是”解析式与图象性质的互译”。

结论推广：$f(x)=a{x}^2+bx+c$ 的对称轴 $x=-\frac{b}{2a}$；图象关于 $x=x_0$ 对称 $⟺$ 对称轴为 $x_0$。

方法推广：见到二次函数对称问题先写对称轴公式，再按充要关系列等式；避免从”任意 $f(x_0+t)=f(x_0-t)$“重新推导绕远路。

🔗【关联脉络】

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