2010-四川卷文-13 填-二项式常数项

本题导读

考查二项式定理。通项 ${\mathrm{C}}_4^k(-2{)}^k{x}^{4-2k}$，令 $4-2k=0$ 得 $k=2$，常数项 ${\mathrm{C}}_4^2\times 4=24$。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(文)） ${\left(x-\frac{2}{x}\right)}^4$ 的展开式中的常数项为 $\underline{}$. （用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写通项：$T_{k+1}={\mathrm{C}}_4^k{x}^{4-k}{\left(-\frac{2}{x}\right)}^k={\mathrm{C}}_4^k(-2{)}^k{x}^{4-2k}$。
2. 常数项要求 $x$ 的指数 $4-2k=0$，得 $k=2$。
3. 代入计算 ${\mathrm{C}}_4^2(-2{)}^2$。

✅【答案】

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24

✍【详细解析】

Abstract

展开式的通项为 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_4^k{x}^{4-k}{\left(-\frac{2}{x}\right)}^k={\mathrm{C}}_4^k(-2{)}^k{x}^{4-2k}.$ 令 $4-2k=0$，得 $k=2$，故常数项为 ${\mathrm{C}}_4^2(-2{)}^2=6\times 4=24.$ 所以常数项为 $24$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理的常数项

核心方法：通项 ${\mathrm{C}}_4^k(-2{)}^k{x}^{4-2k}$，$k=2$，常数项 $24$

避坑指南：${\left(-\frac{2}{x}\right)}^k$ 展开的 $(-2{)}^k$ 符号别丢；$x$ 的指数是 $4-2k$ 而非 $4-k$（分子分母各贡献一次 $x$）；“用数字作答”意味着答案不能带 $k$ 或文字表述。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式特定项（常数项、有理项、系数）是高频送分题，四川 2009 年第 14 题同型。

结论推广：$T_{k+1}={\mathrm{C}}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$；常数项令 $x$ 的指数为零。

方法推广：写通项、令指数、代组合数三步走；负号随 $k$ 的奇偶一次算清。

🔗【关联脉络】

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• 2009-大纲卷II文-14 填-二项展开式系数
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