2010-四川卷文-15 填-二面角线面角

本题导读

考查线面角。向量法：线面角的正弦等于方向向量与法向量夹角余弦的绝对值，$\sin \theta =\sin 30^{\circ }\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{4}$。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(文)） 如图，二面角 $\alpha -l-\beta$ 的大小是 $60^{\circ }$，$AB\subset \alpha$，$B\in l$，$AB$ 与 $l$ 所成的角为 $30^{\circ }$，则 $AB$ 与平面 $\beta$ 所成角的正弦值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 以 $l$ 为 $x$ 轴、$\alpha$ 为 $z=0$ 的平面建系。
2. $AB$ 与 $l$ 成 $30^{\circ }$ 角：其单位方向向量可取 $\vec{u}=(\cos 30^{\circ },\sin 30^{\circ },0)$。
3. 二面角为 $60^{\circ }$：平面 $\beta$ 的单位法向量可取 $\vec{n}=(0,\sin 60^{\circ },\cos 60^{\circ })$。
4. 线面角正弦 $\sin \theta =|\vec{u}\cdot \vec{n}|$。

✅【答案】

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\dfrac{\sqrt3}4

✍【详细解析】

Abstract

取 $l$ 为 $x$ 轴，平面 $\alpha$ 为 $z=0$；二面角为 $60^{\circ }$，平面 $\beta$ 可看作平面 $\alpha$ 绕 $l$ 旋转 $60^{\circ }$ 所得. $AB\subset \alpha$ 且 $AB$ 与 $l$ 成 $30^{\circ }$ 角，取 $AB$ 的单位方向向量 $\vec{u}=(\cos 30^{\circ },\sin 30^{\circ },0);$ 平面 $\beta$ 的单位法向量可取 $\vec{n}=(0,\sin 60^{\circ },\cos 60^{\circ }).$ 设 $AB$ 与平面 $\beta$ 所成的角为 $\theta$，则 $\sin \theta =|\vec{u}\cdot \vec{n}|=\left|\cos 30^{\circ }\times 0+\sin 30^{\circ }\times \sin 60^{\circ }+0\right|=\sin 30^{\circ }\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}.$ （几何解释：把 $\overrightarrow{AB}$ 分解为沿棱 $l$ 的分量与在 $\alpha$ 内垂直于 $l$ 的分量，前者在 $\beta$ 内不产生线面角，后者与 $\beta$ 所成角即为二面角 $60^{\circ }$，故 $\sin \theta =\sin 30^{\circ }\times \sin 60^{\circ }$.） 故所求正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二面角与线面角

核心方法：$\sin \theta =\sin 30^{\circ }\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{4}$

避坑指南：线在面内时，线面角的正弦等于”线与棱的夹角正弦 $\times$ 二面角正弦”；别把 $30^{\circ }$ 的余弦错乘进去；向量法中 $\beta$ 的法向量与 $\vec{u}$ 的分量要按旋转方向对齐，算的是 $\sin \theta =|\vec{u}\cdot \vec{n}|$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二面角给定、求线面角是立体几何填空的经典结构，天津、浙江等卷多有考查。

结论推广：线在面内时 $\sin \theta =\sin \phi \cdot \sin \delta$（$\phi$ 为线棱角，$\delta$ 为二面角）；向量法 $\sin \theta =|\vec{u}\cdot \vec{n}|$。

方法推广：把斜线分解为”沿棱分量（在 $\beta$ 内）与垂直棱分量（与 $\beta$ 成 $\delta$ 角）“，正弦关系一步可见。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-19 解-面面垂直二面角
• 2009-大纲卷I文-19 解-四棱锥二面角
• 2011-四川卷文-19 解-直三棱柱平行与二面角
• 2012-四川卷文-19 解-线面角与二面角