2010-大纲卷II文-08 单-三棱锥线面角

本题导读

考查线面角。法向量 $(3\sqrt{3},3,2\sqrt{3})$，$\sin \theta =\frac{6\sqrt{3}}{4\sqrt{3}\times 2}=\frac{3}{4}$，选 D。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(文)） 在三棱锥 $S-ABC$ 中，底面 $ABC$ 为边长等于 $2$ 的等边三角形，$SA$ 垂直于底面 $ABC$，$SA=3$，那么直线 $AB$ 与平面 $SBC$ 所成角的正弦值为()

A. $\frac{\sqrt{3}}{4}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{5}}{4}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{7}}{4}$　　　　　　　D. $\frac{3}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $A(0,0,0)$、$B(2,0,0)$、$C(1,\sqrt{3},0)$、$S(0,0,3)$。
2. $\overrightarrow{SB}=(2,0,-3)$，$\overrightarrow{SC}=(1,\sqrt{3},-3)$，法向量 $\mathbf{n}=(3\sqrt{3},3,2\sqrt{3})$，$|\mathbf{n}|=4\sqrt{3}$。
3. $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \mathbf{n}|}{|\overrightarrow{AB}||\mathbf{n}|}=\frac{6\sqrt{3}}{2\times 4\sqrt{3}}=\frac{3}{4}$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

以 $A$ 为原点建立空间直角坐标系，使 $AB$ 在 $x$ 轴上，底面 $ABC$ 在 $xOy$ 平面内， 则 $A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$C(1,\sqrt{3},0)$，$S(0,0,3)$。 设平面 $SBC$ 的法向量为 $\mathbf{n}$，由 $\overrightarrow{SB}=(2,0,-3),\overrightarrow{SC}=(1,\sqrt{3},-3),$ 可取 $\mathbf{n}=\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{SC}=(3\sqrt{3},3,2\sqrt{3})$，$|\mathbf{n}|=\sqrt{27+9+12}=4\sqrt{3}$。 又 $\overrightarrow{AB}=(2,0,0)$，设直线 $AB$ 与平面 $SBC$ 所成角为 $\theta$，则 $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \mathbf{n}|}{|\overrightarrow{AB}||\mathbf{n}|}=\frac{6\sqrt{3}}{2\times 4\sqrt{3}}=\frac{3}{4}.$ 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面角的向量求法

核心方法：法向量与方向向量夹角的余弦即线面角的正弦

避坑指南：线面角公式是 $\sin \theta =\frac{|\mathbf{u}\cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{u}||\mathbf{n}|}$（正弦！）；底面边长 $2$ 的等边三角形高为 $\sqrt{3}$，坐标别写错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与平面所成角 $\theta$ 与直线和法向量夹角 $\phi$ 互余：$\sin \theta =\cos \phi$。

结论推广：$SA\perp$ 底面给出竖直方向，等边底面给出平面直角结构，建系零障碍。

方法推广：几何法也可：过 $A$ 作平面 $SBC$ 的垂线，垂足在 $△SBC$ 的某条高上。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-19 解-四棱锥线面角
• 2013-大纲卷文-11 单-线面角
• 2009-湖南卷文-18 解-三棱柱线面角
• 2014-浙江卷文-20 解-线面角