2010-安徽卷文-19 解-空间向量线面关系与体积

本题导读

考查线面关系与体积。$F(2t,t,t)$，$E(t,t,t)$，$\overrightarrow{HF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}$ 组合于平面内向量，$FH$∥平面 $EDB$；$AC$ 与平面内两相交向量都垂直；$V=\frac{t^3}{3}=\frac{(EF{)}^3}{3}$。

📌【题干】

Question

（2010年安徽卷(文)） 如图，在多面体 $ABCDEF$ 中，四边形 $ABCD$ 是正方形，$EF\parallel AB$，$EF\perp FB$，$AB=2EF$，∠$BFC=90°$，$BF=FC$，$H$ 为 $BC$ 的中点.

(1) 求证：$FH\parallel$ 平面 $EDB$；

(2) 求证：$AC\perp$ 平面 $EDB$；

(3) 求四面体 $B-DEF$ 的体积.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $EF=t$，则 $AB=2t$。建系：$A(0,0,0)$，$B(2t,0,0)$，$C(2t,2t,0)$，$D(0,2t,0)$，$H(2t,t,0)$。
2. 由 $BF=FC$、∠$BFC=90°$ 及 $EF\perp FB$ 逐条件解出 $F(2t,t,t)$，$E(t,t,t)$。
3. (1) $\overrightarrow{HF}=(0,0,t)$，$\overrightarrow{DE}-\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}=(0,0,t)=\overrightarrow{HF}$，即 $HF$ 平行于平面 $EDB$ 内向量，且 $H$ 不在平面内。
4. (2) $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DB}=0$，$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DE}=0$，$DB$ 与 $DE$ 相交，故 $AC\perp$ 平面 $EDB$。
5. (3) $\overrightarrow{BE}\times \overrightarrow{BF}=(0,t^2,-t^2)$，$V=\frac{1}{6}|\overrightarrow{BD}\cdot (\overrightarrow{BE}\times \overrightarrow{BF})|=\frac{t^3}{3}$。

✅【答案】

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(1) 见解析

(2) 见解析

(3) $V=\frac{(EF{)}^3}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

取 $EF=t>0$，则 $AB=2t$. 建立直角坐标系，使 $A(0,0,0)$，$B(2t,0,0)$，$C(2t,2t,0)$，$D(0,2t,0)$，于是 $H(2t,t,0)$. 由 $BF=FC$ 及∠$BFC=90°$，△$BFC$ 是以 $BC$ 为斜边的等腰直角三角形，因此 $FH=BH=t$. 若设 $F=(u,v,w)$，由 $BF=FC$ 得 $v=t$，可设 $F=(u,t,w)$. 由 $EF\parallel AB$、$EF=t$ 及图中位置关系，可取 $\overrightarrow{EF}=(t,0,0)$，即 $E=(u-t,t,w)$. 又 $EF\perp FB$，所以 $(t,0,0)\cdot (2t-u,-t,-w)=0$，得 $u=2t$. 再由 $FH=t$，得 $w^2=t^2$，取图示方向 $w=t$，于是 $F(2t,t,t)$，$E(t,t,t)$. (1) $\overrightarrow{DB}=(2t,-2t,0)$，$\overrightarrow{DE}=(t,-t,t)$，而 $\overrightarrow{DE}-\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}=(0,0,t)=\overrightarrow{HF}.$ 即 $\overrightarrow{HF}$ 可表示为平面 $EDB$ 内两个不共线向量的线性组合；又 $\overrightarrow{DH}=(2t,-t,0)$ 不能表示为 $\alpha \overrightarrow{DB}+\beta \overrightarrow{DE}$（第三个坐标为 $0$ 迫使 $\beta =0$，此时第二个坐标无法相等），故 $H$ 不在平面 $EDB$ 内. 所以 $FH\parallel$ 平面 $EDB$. (2) $\overrightarrow{AC}=(2t,2t,0)$. 因为 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DB}=4t^2-4t^2=0,\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DE}=2t^2-2t^2+0=0,$ 且 $DB$ 与 $DE$ 是平面 $EDB$ 内相交于 $D$ 的两条直线，所以 $AC\perp$ 平面 $EDB$. (3) $\overrightarrow{BD}=(-2t,2t,0)$，$\overrightarrow{BE}=(-t,t,t)$，$\overrightarrow{BF}=(0,t,t)$，计算得 $\overrightarrow{BE}\times \overrightarrow{BF}=(0,t^2,-t^2),$ $V_{B-DEF}=\frac{1}{6}\left|\overrightarrow{BD}\cdot (\overrightarrow{BE}\times \overrightarrow{BF})\right|=\frac{1}{6}\left|2t^3\right|=\frac{t^3}{3}=\frac{(EF{)}^3}{3}.$ 即四面体 $B-DEF$ 的体积为 $\frac{(EF{)}^3}{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：空间向量证线面平行垂直与求体积

核心方法：建系设参写坐标，向量线性组合证平行，数量积为零证垂直，混合积求三棱锥体积

避坑指南：设 $EF=t$ 保持参数贯穿全程，最后体积用 $t$ 表达；$H$ 不在平面 $EDB$ 内需要单独说明，否则”平行于平面内向量”推不出线面平行。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：多面体中”平行 + 垂直 + 体积”三连问是立体几何解答题的经典布局。

结论推广：等腰直角三角形 $BFC$ 的对称性（$H$ 为中点）直接给出 $FH=BH=t$，是定出 $F$ 竖坐标的关键。

方法推广：混合积公式 $V=\frac{1}{6}|\overrightarrow{BD}\cdot (\overrightarrow{BE}\times \overrightarrow{BF})|$ 与基底法等价，选择熟悉的工具。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-20 解-空间向量与体积
• 2011-安徽卷文-19 解-多面体平行与棱锥体积
• 2009-山东卷文-18 解-线面平行与面面垂直
• 2009-江苏卷-16 解-线面平行面面垂直