2011-上海卷理-23 解-双曲线

本题导读

本题考查点到线段距离的新定义。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(理)） 已知平面上的线段 $l$ 及点 $P$，在 $l$ 上任取一点 $Q$，线段 $PQ$ 长度的最小值称为点 $P$ 到线段 $l$ 的距离，记作 $d(P,l)$.

(1) 求点 $P(1,1)$ 到线段 $l:x-y-3=0(3⩽x⩽5)$ 的距离 $d(P,l)$；

(2) 设 $l$ 是长为 2 的线段，求点的集合 $D=\{P\mid d(P,l)⩽1\}$ 所表示的图形面积；

(3) 写出到两条线段 $l_1,l_2$ 距离相等的点的集合 $\Omega =\{P\mid d(P,l_1)=d(P,l_2)\}$，其中 $l_1=AB$，$l_2=CD$，$A,B,C,D$ 是下列三组点中的一组.对于下列三组点只需选做一种，满分分别是 ① 2 分，② 6 分，③ 8 分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分. ① $A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,0)$. ② $A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,-2)$. ③ $A(0,1),B(0,0),C(0,0),D(2,0)$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对 (1)：判断点 $P$ 向直线 $x-y-3=0$ 所作垂线的垂足是否落在给定的线段范围 $[3,5]$ 内。若垂足在线段上，距离即为点到直线的垂线段长；若垂足在线段外，距离为点到最近端点的距离。
2. 对 (2)：线段 $l$ 的“$⩽1$ 邻域”为一个“胶囊形”几何图形：由一个以线段长 2、宽 2 的矩形以及分别以两端点为圆心、半径为 1 的两个半圆拼接而成。
3. 对 (3)：

• 选做 ①（对称平行线段）：线段关于 $y$ 轴对称，且端点横向对齐，等距离点集为对称轴直线 $x=0$，以及两端外部满足垂足落在对应端点时的垂直平分线延伸部分；
• 选做 ②（非完全对齐的平行线段）：两平行线段长度不同且错位，根据点向两条线段作垂线的不同落点区域，轨迹由直线段、射线以及端点与线段构成的抛物线段拼接而成；
• 选做 ③（垂直相交线段）：$l_1$ 为 $y$ 轴上的线段 $[0,1]$，$l_2$ 为 $x$ 轴上的线段 $[0,2]$，在四个象限中根据投影是落在内部（垂线段）还是落在端点（圆弧/抛物线）分区域求解轨迹方程并集合化。

✅【答案】

点击查看答案

(1) 待补

(2) 待补

(3) 待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 直线方程为 $x-y-3=0$。 过点 $P(1,1)$ 作该直线的垂线，垂线斜率为 $-1$，其方程为： $y-1=-1(x-1)⟹x+y-2=0$ 联立直线与垂线方程： $\{\begin{array}{l}x-y-3=0\\ x+y-2=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2}\\ y=-\frac{1}{2}\end{array}$ 即垂足坐标为 $H\left(\frac{5}{2},-\frac{1}{2}\right)$。 线段 $l$ 的端点对应 $x\in [3,5]$， 因为垂足的横坐标 $x_H=\frac{5}{2}<3$，所以垂足 $H$ 不在线段 $l$ 上。 线段 $l$ 上离点 $P$ 最近的点为其左端点 $Q_0(3,0)$。 因此点 $P$ 到线段 $l$ 的距离为： $d(P,l)=|P{Q}_0|=\sqrt{(1-3{)}^2+(1-0{)}^2}=\sqrt{(-2{)}^2+1^2}=\sqrt{5}$

(2) 设线段 $l$ 的端点为 $E,F$，则 $|EF|=2$。 集合 $D=\{P\mid d(P,l)⩽1\}$ 表示所有到线段 $l$ 上某点的距离不超过 1 的点的集合。 该集合由两部分构成：

• 点 $P$ 向线段 $l$ 作垂线，垂足落在线段 $EF$ 内部且距离不超过 1 的区域：这是一个长为 $|EF|=2$、宽为 $2\times 1=2$ 的矩形区域，其面积为： $S_{\text{矩形}}=2\times 2=4$
• 点 $P$ 距离端点 $E$ 或 $F$ 不超过 1 的区域：分别是以 $E,F$ 为圆心、半径为 1 的两个半圆区域，两个半圆组合成一个半径为 1 的整圆，其面积为： $S_{\text{两半圆}}=\pi \times 1^2=\pi$ 所以该图形的总面积为： $S=S_{\text{矩形}}+S_{\text{两半圆}}=4+\pi$

(3) 情形 ① 的解答： 线段 $l_1:x=1(0⩽y⩽3)$，线段 $l_2:x=-1(0⩽y⩽3)$。 两线段关于 $y$ 轴对称。

• 当 $0⩽y⩽3$ 时，点到两线段的距离分别为到对应直线的距离 $|x-1|$ 与 $|x+1|$，由 $|x-1|=|x+1|$ 得 $x=0$；
• 当 $y>3$ 时，点到两线段的距离分别为到端点 $A(1,3)$ 与 $C(-1,3)$ 的距离，其轨迹为线段 $AC$ 的垂直平分线，即 $x=0$；
• 当 $y<0$ 时，点到两线段的距离分别为到端点 $B(1,0)$ 与 $D(-1,0)$ 的距离，其轨迹为线段 $BD$ 的垂直平分线，即 $x=0$。 综上，集合 $\Omega$ 为整个 $y$ 轴： $\Omega =\{(x,y)\mid x=0\}$

情形 ② 的解答： 线段 $l_1$ 端点为 $A(1,3),B(1,0)$（方程为 $x=1,0⩽y⩽3$）； 线段 $l_2$ 端点为 $C(-1,3),D(-1,-2)$（方程为 $x=-1,-2⩽y⩽3$）。 对全平面进行纵坐标区域划分：

1. 当 $y⩾3$ 时，点到两线段的距离转化为到端点 $A(1,3)$ 与 $C(-1,3)$ 的距离，等距轨迹为线段 $AC$ 的垂直平分线的一段：$x=0(y⩾3)$；
2. 当 $0⩽y⩽3$ 时，点向两线段所作垂线的垂足均落在两线段上，距离为到两平行线距离：$|x-1|=|x+1|$，解得 $x=0(0⩽y⩽3)$；
3. 当 $-2⩽y<0$ 时，点到 $l_1$ 的距离为到端点 $B(1,0)$ 的距离 $\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}$；到 $l_2$ 的垂足落在 $l_2$ 上，距离为 $|x-(-1)|=|x+1|$。 由 $\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}=|x+1|$，两边平方得： $(x-1{)}^2+y^2=(x+1{)}^2⟹x^2-2x+1+y^2=x^2+2x+1⟹y^2=4x$ 此时轨迹为抛物线弧段：$x=\frac{1}{4}{y}^2(-2⩽y<0)$；
4. 当 $y<-2$ 时，点到 $l_1$ 的距离为到端点 $B(1,0)$ 的距离，到 $l_2$ 的距离为到端点 $D(-1,-2)$ 的距离，轨迹为线段 $BD$ 的垂直平分线。 线段 $BD$ 的中点为 $\left(\frac{1-1}{2},\frac{0-2}{2}\right)=(0,-1)$，斜率 $k_{BD}=\frac{-2-0}{-1-1}=1$。 其中垂线斜率为 $-1$，方程为 $y-(-1)=-(x-0)⟹x+y+1=0$。 结合区域条件 $y<-2$，对应射线部分为 $x+y+1=0(y⩽-2)$。

综上所述，所求集合为： $\Omega =\left\{(x,y)|\{\begin{array}{ll}x=0,& y⩾0\\ x=\frac{1}{4}{y}^2,& -2⩽y<0\\ x+y+1=0,& y<-2\end{array}\right\}$

情形 ③ 的解答： 线段 $l_1:x=0(0⩽y⩽1)$，线段 $l_2:y=0(0⩽x⩽2)$。 两线段相互垂直且在原点处交汇于公共端点 $B(0,0)=C(0,0)$。 根据平面区域分析点到两线段的距离：

1. 在第一象限及坐标轴：

• 若 $0⩽x⩽2,0⩽y⩽1$：点向两线段的垂足分别落在线段内部，距离分别为 $x$ 和 $y$，由 $d(P,l_1)=d(P,l_2)$ 得 $x=y$；
• 若 $x>2,0⩽y⩽1$：点向 $l_1$ 垂足在内部，距离为 $x$；向 $l_2$ 最近点为端点 $D(2,0)$，距离为 $\sqrt{(x-2{)}^2+y^2}$。 由 $x=\sqrt{(x-2{)}^2+y^2}⟹x^2=x^2-4x+4+y^2⟹y^2=4(x-1)$，此为抛物线弧段，此时 $0⩽y⩽1⟹0⩽y^2⩽1⟹0⩽4(x-1)⩽1⟹1⩽x⩽\frac{5}{4}$，与 $x>2$ 无交集，舍去；
• 若 $0⩽x⩽2,y>1$：点向 $l_1$ 最近点为端点 $A(0,1)$，距离为 $\sqrt{x^2+(y-1{)}^2}$；向 $l_2$ 垂足在内部，距离为 $y$。 由 $y=\sqrt{x^2+(y-1{)}^2}⟹y^2=x^2+y^2-2y+1⟹x^2=2y-1$，此时 $0⩽x⩽1$ 对应 $1⩽y⩽1$ 无实质新解；
• 若 $x>2,y>1$：距离分别为到点 $A(0,1)$ 与点 $D(2,0)$ 的距离，轨迹为线段 $AD$ 的垂直平分线： 线段 $AD$ 中点为 $\left(1,\frac{1}{2}\right)$，斜率为 $-\frac{1}{2}$，其垂直平分线斜率为 2，方程为 $y-\frac{1}{2}=2(x-1)⟹4x-2y-3=0$。 当 $x>2$ 时，$y=2x-\frac{3}{2}>\frac{5}{2}>1$，满足条件，为射线 $4x-2y-3=0(x⩾2)$。
• 介于 $x\in [1,2]$ 且 $y>1$ 的过渡区域：点到 $l_1$ 的最近点为 $A(0,1)$，到 $l_2$ 的垂足在 $l_2$ 上，距离方程为 $\sqrt{x^2+(y-1{)}^2}=y⟹x^2=2y-1$，即 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}(1⩽x⩽2)$。

2. 在第二象限（$x<0,y>0$）： 点到 $l_1$ 的距离为到线段上的垂线段长 $|x|=-x$（当 $0⩽y⩽1$）或到 $A(0,1)$ 的距离（当 $y>1$）；到 $l_2$ 的最近点恒为端点 $B(0,0)$，距离为 $\sqrt{x^2+y^2}$。

• 当 $0⩽y⩽1$ 时：$-x=\sqrt{x^2+y^2}⟹x^2=x^2+y^2⟹y=0$，仅有轴上重合点；
• 当 $y>1$ 时：$\sqrt{x^2+(y-1{)}^2}=\sqrt{x^2+y^2}⟹y-1=-y$（无解）。 因此第二象限内部无解。

3. 在第四象限（$x>0,y<0$）： 点到 $l_2$ 的距离为 $-y$（当 $0⩽x⩽2$）；到 $l_1$ 的最近点恒为端点 $B(0,0)$，距离为 $\sqrt{x^2+y^2}$。 同理，$-y=\sqrt{x^2+y^2}⟹x=0$，第四象限内部无解。
4. 在第三象限（$x⩽0,y⩽0$）： 点到两线段的最近点均为原点 $B(0,0)=C(0,0)$。 因此，对第三象限内任意点 $P(x,y)$，恒有 $d(P,l_1)=|PO|=d(P,l_2)$。 即整个第三象限（含坐标半轴）上的所有点均满足条件。

将所有满足条件的区域整合，集合 $\Omega$ 为： $\Omega =\{(x,y)\mid x⩽0,y⩽0\}\cup \{(x,y)\mid y=x,0⩽x⩽1\}\cup \left\{(x,y)|y=\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2},1⩽x⩽2\right\}\cup \left\{(x,y)|y=2x-\frac{3}{2},x⩾2\right\}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：平面点到线段的距离定义、分段轨迹方程、抛物线的几何定义（点到定点距离等于到定直线距离）。
• 核心方法：
• 找准垂足落点：垂足在线段内看垂线长，垂足在线段外看端点距；
• 识别几何母型：点到定点与到定直线距离相等，曲线必为抛物线（如情形 ② 中的 $y^2=4x$ 和情形 ③ 中的 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}$）；
• 公共端点性质：两线段有公共端点时，背对两线段的整个象限区域内距离恒为到公共端点的距离，因而整个区域均在等距集内。
• 避坑指南：
• 第 (1) 问垂足落在区间外，直接套用点到直线距离公式会错得 $2\sqrt{2}$；
• 第 (3) 问情形 ③ 容易遗漏整个第三象限二维区域 $\{x⩽0,y⩽0\}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：计算几何与计算机图形学中著名的“线段 Voronoi 图（Segment Voronoi Diagram）”与等距骨架面（Medial Axis Transform）理论的高考化呈现。
• 结论推广：平面上到两凸多边形或线段集等距的点集，其几何本质是由双曲线弧、抛物线弧、线段及平面闭区域构成的连续分段骨架网络。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-广东卷文-20 解-椭圆抛物线切线与存在性
• 2010-天津卷文-21 解-椭圆弦长与垂直平分线
• 2012-上海卷文-21 解-抛物线应用建模最值