2011-北京卷文-05 单-三视图表面积

本题导读

本题考查三视图的还原，以及棱锥的表面积。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(文)） 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是 ()

A. $32$　　　　　B. $16+16\sqrt{2}$　　　　　C. $48$　　　　　D. $16+32\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：三视图还原为底面边长 $4$、高 $2$ 的正四棱锥
2. 步骤2：斜高 $2\sqrt{2}$
3. 步骤3：表面积 $=$ 底面 $+$ 四侧面

✅【答案】

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B表面积为 $16+16\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由三视图：正视图与侧视图均为底 $4$ 高 $2$ 的三角形、俯视图为边长 $4$ 的正方形（含对角线），几何体为底面边长 $4$、高 $2$ 的正四棱锥。

斜高 $h^{\prime }=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$（高的端点到底边中点）。

$S_{\text{底}}=4\times 4=16$，$S_{\text{侧}}=4\times \frac{1}{2}\times 4\times 2\sqrt{2}=16\sqrt{2}$。

表面积 $=16+16\sqrt{2}$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三视图的还原；正棱锥斜高的计算

核心方法：俯视图定底面、正侧视图定高：正四棱锥的斜高 $=\sqrt{h^2+(\text{半底边}{)}^2}$

避坑指南：斜高是”顶点到底边中点”的距离，不是侧棱长（侧棱 $=\sqrt{2^2+2^2+2^2}=2\sqrt{3}$）；漏乘四个侧面会得 $16+4\sqrt{2}$ 型错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三视图求表面积与 2011-新课标卷文-08（三视图侧视图）、2012-浙江卷文-03（三视图棱锥体积）同族。

结论推广：推广：正 $n$ 棱锥侧面积 $=\frac{1}{2}\times \text{底面周长}\times \text{斜高}$；本题数据（底 $4$ 高 $2$ 斜高 $2\sqrt{2}$）是常用模型。

方法推广：三视图小题：先还原几何体（底面形状 + 高），再分解为”底面积 + 侧面积”，侧面用斜高逐个算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-08 单-三视图侧视图
• 2012-浙江卷文-03 单-三视图棱锥体积